Soit $A$ un point de l'espace. $(A~; \vec{u},\vec{v},\vec{w})$ forme un repère de l'espace.
\begin{questions}
\item \textit{Vrai}. Les vecteurs $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}+\vec{w}$ ne sont pas colinéaires car si\linebreak $\vec{u}+\vec{w} =k(\vec{u}+\vec{v})$, alors on aurait $(k-1)\vec{u}+k\vec{v}-\vec{w} = \vec{0}$. L'unicité de la décomposition d'un vecteur selon les trois vecteurs de la base donnerait $k=1$ et $k=0$, ce qui est impossible.\\
On cherche ensuite à montrer que $\vec{w}+\vec{v} = a(\vec{u}+\vec{v}) + b(\vec{u}+\vec{w})$ est impossible. En effet, dans la base $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$, cela donnerait le système :
\[ \left\{
\begin{aligned}
a+b &= 0 \\
a &= 1\\
b &= 1
\end{aligned}\right.
\]         
qui n'a pas de solution.

\item \textit{Vrai}. Le vecteur $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ ne peut pas s'écrire sous la forme $a\vec{u}+b\vec{v}$.

\item \textit{Faux}. La relation $\vec{u}+\vec{v} = (\vec{w} +\vec{v})-(\vec{w}-\vec{u}) $ montre que les vecteurs sont coplanaires.

\item \textit{Vrai}. Il n'est pas possible d'exprimer $\vec{u}$ en fonction des vecteurs $\vec{w} + \vec{v}$ et $\vec{w}-\vec{v}$ qui ne sont clairement pas des vecteurs colinéaires. Donc les vecteurs ne sont pas coplanaires.
\end{questions}
