\begin{questions}
\item $\gvec{AB}(4~;-2~;4)$ et $\gvec{AC}(0~;-2~;1)$.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc $(A~;\gvec{AB},\gvec{AC})$ définit bien un plan.

\item $\gvec{DE}(-2~;3~;-3)$ et $-\gvec{AB}-2\gvec{AC}(-4~;6~;-6)$ donc :
\[
\gvec{DE}=\dfrac{1}{2}\left(-\gvec{AB}-2\gvec{AC}\right).
\]
Ces vecteurs sont donc colinéaires, ce qui prouve que la droite $(DE)$ est parallèle au plan $(ABC)$ puisque $(A~;\gvec{AB},\gvec{AC})$ constitue un repère de ce plan.

\begin{Remarque}
à ce stade, on ne sait pas si la droite est strictement parallèle au plan $(ABC)$ ou incluse dans ce plan.
\end{Remarque}

\item On connaît deux vecteurs formant une base du plan $(ABC)$. De plus, le point $A$, par exemple, appartient au plan $(ABC)$ donc une représentation paramétrique du plan $(ABC)$ est :
\[
\begin{cases}
x&=-2+4t\\
y&=2-2t-2t'\\
z&=-1+4t+t'
\end{cases}\quad,\quad t\text{ et }t'\text{ étant deux réels}.
\]

\begin{Remarque}
on aurait pu aussi utiliser le point $B$, ou le point $C$ : un plan n'a pas une représentation paramétrique unique.
\end{Remarque}

Pour savoir si $D$ appartient au plan, il faut chercher s'il existe des valeurs de $t$ et $t'$ permettant d'obtenir les coordonnées de $D$.

On obtient le système :
\[
\begin{cases}
0&=-2+4t\\
-4&=2-2t-2t'\\
1&=-1+4t+t'
\end{cases}\quad,\quad t\text{ et }t'\text{ étant deux réels}.
\]
De la première équation, on déduit $t=\dfrac{1}{2}$ .

En reportant cette valeur dans la deuxième équation, on obtient $t'=\dfrac{5}{2}$.

Le deuxième membre de la troisième équation est alors :
\[
-1+4\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{7}{2}.
\]

Cette troisième égalité n'est pas vérifiée avec les valeurs trouvées pour $t$ et $t'$, donc $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$.

\item La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur le vecteur $\gvec{AB}$ et passe par le point $A$, ce qui donne comme représentation paramétrique :

\[
\begin{cases}
x&=-2+4t\\
y&=2-2t\\
z&=-1+4t
\end{cases}\quad,\quad t\in\R.
\]

\begin{Remarque}
là encore, on aurait pu utiliser le point $B$ pour obtenir une autre équation paramétrique de la droite $(AB)$ équivalente à celle donnée ici.
\end{Remarque}
\end{questions}
