\begin{questions}
\item On a : $\gvec{AB}(1~;-3~;3)$, $\gvec{AC}(-1~;-4~;2)$ et $\gvec{AD}(1~;-2~;2)$.

Les vecteurs sont coplanaires si et seulement si on peut exprimer l'un d'entre eux, par exemple $\gvec{AD}$, en fonction des deux autres.

On va donc chercher à savoir si on peut trouver deux réels $k$ et $k'$ tels que $\gvec{AD}=k\gvec{AB}+k'\gvec{AC}$.

Si ces réels existent, ils sont solutions du système :
\[
\begin{cases}
1&=k-k'\\
-2&=-3k-4k'\\
2&=3k+2k'
\end{cases}
\]
obtenu en écrivant que les coordonnées de $\gvec{AD}$ et de $k\gvec{AB}+k'\gvec{AC}$ sont égales.

La première équation donne $k = 1 + k'$, et en reportant dans la deuxième on obtient :
\[ -2=-3-3k'-4k' \Leftrightarrow k'=-\dfrac{1}{7}.\]
En reprenant la première équation, on obtient donc $k=\dfrac{6}{7}$.

Le second membre de la troisième égalité vaut donc, avec les valeurs de $k$ et $k'$ obtenues, $2\neq\dfrac{16}{7}$.

Ainsi, on ne peut pas trouver de réels $k$ et $k'$ tels que $\gvec{AD}=k\gvec{AB}+k'\gvec{AC}$, donc les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.

\item Posons $M(x~;~y~;~z).$ Alors, $\begin{aligned}[t]
\gvec{AM}=2\gvec{AB}-\gvec{AC} &
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x-2&=3\\
y-4&=-2\\
z+1&=4
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
x&=5\\
y&=2\\
z&=3
\end{cases}
\end{aligned}$

Donc $M(5~;2~;3)$.

Le point $M$ se situe dans le plan $(ABC)$, puisque le vecteur $\gvec{AM}$ s'exprime en fonction des deux vecteurs directeurs du plan $(ABC)$.


\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{AE}=a\gvec{AB}+b\gvec{AC}+c\gvec{AD} & \Leftrightarrow
\begin{cases}
-1&=a-b+c\\
-2&=-3a-4b-2c\\
1&=3a+2b+2c
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
a & =b-c-1\\
-2&=-3b+3c+3-4b-2c\\
1&=3b-3c-3+2b+2c
\end{cases}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
\gvec{AE}=a\gvec{AB}+b\gvec{AC}+c\gvec{AD}
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
a&=b-c-1\\
-7b+c&=-5\\
5b-c&=4
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
a&=b-c-1\\
5b-c&=4\\
-2b&=-1
\end{cases}
\end{aligned}$

La dernière équation est obtenue en ajoutant la deuxième et la troisième de l'étape précédente.

On obtient donc successivement : $b=\dfrac{1}{2}$, $c=-\dfrac{3}{2}$ et $a=1$.

D'après le calcul précédent, les coordonnées de $E$ dans le repère\linebreak $\left(A~;\gvec{AB},\gvec{AC},\gvec{AD}\right)$ sont $\left(1~;\dfrac{1}{2}~;-\dfrac{3}{2}\right)$.
\end{questions}
