\begin{questions}
\item D'après la représentation paramétrique de $(d)$, on sait que le point\linebreak$A(6~;1~;1)$ appartient à $(d)$ et que le vecteur $\vec{u}(1~;2~;-1)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
\item Une représentation paramétrique de $(d')$ est :
\[
\begin{cases}
x=3-t'\\
y=-3+t'\\
z=-6+2t'
\end{cases}\quad,\quad t'\in\R.
\]

\item Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Donc les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles.

Nous allons donc vérifier si elles sont sécantes, c'est-à-dire chercher si on peut trouver $t$ et $t'$ tels que :

\enlargethispage*{5em}

\begin{align*}
& \begin{cases}
6+t&=3-t'\\
1+2t&=-3+t'\\
1-t&=-6+2t'
\end{cases}
\\[0.7em]
\iff\quad &
\begin{cases}
t&=-3-t'\\
1-6-2t'&=-3+t'\\
1+3+t'&=-6+2t'
\end{cases}
\\[0.7em]
\iff\quad &
\begin{cases}
t=-3-t'\\
t'=-\frac{2}{3}\\
t'=10
\end{cases}
\end{align*}

\newpage

Comme on ne trouve pas la même valeur de $t'$ dans la deuxième et la troisième équation, on ne peut pas trouver $t$ et $t'$ tels que le système soit vérifié, donc les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas sécantes.

Par conséquent, elles ne sont pas coplanaires.

\item Les coordonnées du milieu d'un segment sont les demi-sommes des coordonnées des deux extrémités, donc on obtient le système :
\begin{align*}
\begin{cases}
\dfrac{6+t+3-t'}{2}&=1\\
\dfrac{1+2t-3+t'}{2}&=-2\\
\dfrac{1-t-6+2t'}{2}&=3
\end{cases}
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
t&=-7+t'\\
1-14+2t'-3+t'&=-4\\
1+7-t'-6+2t'&=6
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
t=-7+t'\\
t'=4\\
t'=4
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
t=-3\\
t'=4
\end{cases}
\end{align*}

On a trouvé des valeurs de $t$ et $t'$.

$t = -3$, donc $C(3~;-5~;4)$, et $t' = 4$, donc $D(-1~;1~;2)$, en utilisant les représentations paramétriques des deux droites.

\begin{methode}
Il est ici prudent de vérifier que $I$ est bien le milieu du segment $[CD]$, ce qui est le cas.
\end{methode}
\end{questions}
