\begin{questions}
\item Comme $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan cherché, une équation cartésienne de celui-ci est :
\[
y+z=d\;, d\in\R
\]
où $d$ est déterminé par le fait que $A$ appartient au plan cherché, soit :
\[
0+1=d.
\]
Le plan cherché admet donc pour équation cartésienne :
\[
y+z=1.
\]
\item Un plan parallèle au plan d'équation :
\[
x+y-2z=4
\]
admet pour équation  :
\[
x+y-2z=a\;,
\]
où $a$ est déterminé par le fait que $B$
appartient au plan, soit  :
\[
3-2=a.
\]
Le plan cherché admet donc pour équation cartésienne :
\[
x+y-2z=1.
\]
\item Le plan médiateur du segment $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ et admet $ \gvec{AB}$ comme vecteur normal.

Calculons les coordonnées du milieu de $[AB]$ ainsi que celles du  vecteur $ \gvec{AB}$ :
\[
\text{Milieu de }[AB] :
\left(-\dfrac{1}{2}~;\dfrac{3}{2}~;1\right) ;\quad
\text{le vecteur } \gvec{AB} : (1~;3~;0).
\]
Le plan médiateur du segment $[AB]$ a donc pour équation :
\[
x+3y=c\;,
\]
avec :
\[
-\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{2}=c\quad,\quad\text{donc } c=4.
\]
Cette équation cartésienne est donc $x+3y=4$.
\end{questions}
%
\begin{methode}
  La première et la troisième question peuvent aussi être résolues avec
  les méthodes suivantes :
\begin{itemize}
\item Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ est   l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\gvec{AM}\cdot\vec{n}=0$. Si le point $M$ a pour coordonnées $(x~;y~;z)$, on calcule alors les coordonnées du vecteur $ \gvec{AM}$ puis on effectue le
produit scalaire.
\item Le plan médiateur du segment $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace équidistants de $A$ et de $B$. Si le point $M$ a pour  coordonnées $(x~;y~;z)$, on calcule alors les distances $MA$ et $MB$ et on écrit l'égalité $MA^2=MB^2$ qui après simplification fournira l'équation cherchée.
\end{itemize}
\end{methode}
