\begin{questions}
\item
Les coordonnées respectives des points $I$ et $K$ sont :
\[
I(1~;1~;-1) \qquad \text{et} \qquad K(3~;-3~;3).
\]
Le point $J$ est défini par la relation vectorielle $\gvec{BJ}=\dfrac{1}{4}\gvec{BC}$.

\par

Soient $(x~;y~;z)$ les coordonnées du point $J$. Alors, les coordonnées du vecteur $\gvec{BJ}$ sont $(x-3~;y-2~;z+4)$.

\par

Les coordonnées du vecteur $\gvec{BC}$ sont $(-2~;-6~;6)$.

\par

Les coordonnées du point $J$ s'obtiennent en résolvant le système :
\[
\begin{cases}
x-3=-\dfrac{1}{2}\\[10pt]
y-2=-\dfrac{3}{2}\\[10pt]
z+4=\dfrac{3}{2}
\end{cases}
\]
Le point $J$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{2}~;\dfrac{1}{2}~;-\dfrac{5}{2}\right)$.

\item
\begin{questions}
\item
Les vecteurs $\gvec{IK}$ et $\gvec{IJ}$ sont pour coordonnées respectives $(2~;-4~;4)$ et $\left(\dfrac{3}{2}~;-\dfrac{1}{2}~;- \dfrac{3}{2}\right)$. Comme il n'existe pas de réel $k$ tel que\linebreak[4] $\gvec{IJ}=k\gvec{IK}$, on en déduit que les vecteurs $\gvec{IK}$ et $\gvec{IJ}$ ne sont pas colinéaires donc les points $I$, $J$ et $K$ ne sont pas alignés.
\enlargethispage*{3em}

\item
Considérons le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne  :
\[ 8x+9y+5z-12=0.\]
\newpage
Il contient le point $I$ puisque $8\times1+9\times1+5\times(-1)-12=0$. On montre de même que le plan $\mathcal{P}$ contient aussi les points $J$ et $K$. Or, d'après la question précédente, les points $I$, $J$, $K$ ne sont pas alignés donc ils déterminent un plan. Ce plan n'est donc autre que le plan $\mathcal{P}$. Par conséquent, une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est $8x+9y+5z-12=0$.

\begin{methode}
Pour résoudre cette question, on aurait pu aussi procéder de la manière suivante :\par
On commence par déterminer un vecteur $\vec{n}$ à la fois orthogonal aux vecteurs $\gvec{IK}$ et $\gvec{IJ}$. Un tel vecteur est donc un vecteur normal au plan $(IJK)$. Le plan $(IJK)$ est donc l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vec{n}\cdot\gvec{IM}=0$.
\end{methode}

\item Le vecteur $\gvec{AD}$ a pour coordonnées $(6~;-2~;2)$.\par
Un point $M$ de coordonnées $(x~;y;z)$ appartient à la droite $(AD)$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $\gvec{AM}=t\gvec{AD}$.\Par
Une représentation paramétrique de la droite $(AD)$ est donc :
\[
\begin{cases}x=-1+6t\\y=-2t\\z=2+2t\end{cases} \quad,\quad t\in\R.
\]
Un point $M$ de la droite $(AD)$ appartient au plan $(IJK)$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $8(6t-1)-18t+5(2t+2)-12=0$. En résolvant cette équation, on obtient $t=\dfrac{1}{4}$.\Par
Le plan $(IJK)$ et la droite $(AD)$ sont sécants en un point $L$ de coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}~;-\dfrac{1}{2}~;\dfrac{5}{2}\right)$.

\item Le vecteur $\gvec{AD}$ a pour coordonnées $(6~;-2~;2)$ et le vecteur $\gvec{AL}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{3}{2}~;-\dfrac{1}{2}~;\dfrac{1}{2}\right)$, ce qui établit la relation demandée.
\end{questions}
\end{questions}
