\begin{questions}
\item
%
\begin{questions}
\item
Les vecteurs $\gvec{AC}$ et $\gvec{BC}$ ont pour coordonnées respectives\linebreak $(-2~;-1~;-1)$ et $(1~;0~;-2)$. On calcule leur produit scalaire :
\[
\gvec{AC}\cdot \gvec{BC}= (-2)+(-1)\times(-2)=0.
\]
On en déduit que les vecteurs $\gvec{AC}$ et $\gvec{BC}$  sont orthogonaux.
%
\item
On déduit de la première question que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
%
\item
L'aire du triangle $ABC$ est :
\[
\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}AC\times BC\;,
\]
soit :
\[
\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}\sqrt{6}\times\sqrt{5}.
\]
L'aire du triangle $ABC$ est donc $\dfrac{\sqrt{30}}{2}$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item
On a vu que les poins $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés. Pour prouver que le vecteur $\vec {u}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$, il suffit de prouver que ce vecteur est orthogonal à la fois aux vecteurs $\gvec{AC}$ et $\gvec{BC}$. En effet, on sait d'après le cours que tout vecteur non nul orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan $\mathcal{P}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

On vérifie que $\gvec{BC}\cdot\vec{u}=\gvec{AC}\cdot\vec {u}=0$ ce qui achève la preuve.

\item
Le plan $(ABC)$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace de coordonnées $(x~;y~;z)$ tels que $\gvec{AM}\cdot\vec {u}=0$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est \[2x-5y+z=7.\]

\item\label{ch12ex11q2c}
En utilisant la formule:
\[
d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|ax+by+cz-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\;,
\]
on déduit que la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est $\dfrac{|-12|}{\sqrt{30}}$ soit $\dfrac{2\sqrt{30}}{5}.$
\end{questions}

\item

On considère comme base du tétraèdre $ABCD$ le triangle $BCA$. Son volume est alors :
\[
\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}\times\dfrac{2\sqrt{30}}{5}\;,
\]
soit $\mathscr{V}=2$.
%
\item
\begin{questions}

\item
Soit $\vec{n}$ un vecteur de coordonnées $(a~;b~;c)$.\par
En calculant ces produits scalaires, on montre que $\vec {n}\cdot \gvec{BC}=0$ et $\vec {n}\cdot \gvec{CD}=0$ équivaut à :
\[
\begin{cases}a-2c=0\\2b-2c=0.\end{cases}
\]
On peut donc choisir par exemple $\vec{n}(2~;1~;1)$.

\begin{attention}
Il existe une infinité de vecteurs  $\vec{n}$ répondant à la question !
\end{attention}

\item
Remarquons que les points $B$, $C$, $D$ ne sont pas alignés (les vecteurs $\gvec{BC}$ et $\gvec{CD}$ ne sont pas colinéaires) donc ils déterminent un plan.\par
Le plan $(BCD)$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace de coordonnées $(x~;y~;z)$ tels que $\gvec{BM}\cdot\vec {n}=0$.
Une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est $2x+y+z=1$.
\end{questions}

\item
On considère comme base du tétraèdre $ABCD$ le triangle $BCD$. Son volume est alors donné par la formule :
\[
\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}' \times d\;,
\]
où $\mathscr{A}'$ représente l'aire du triangle $BCD$ et $d$ la distance du point $A$ au plan $(BCD)$.\par
On calcule cette distance en utilisant la m\^eme formule qu'à la question \ref{ch12ex11q2c}.
\[ d=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}.\]
On a donc:
\[
\mathscr{V}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\mathscr{A}'.
\]

\item
Le volume du tétraèdre ayant été calculé antérieurement, on peut ainsi déterminer l'aire du triangle $BCD$.
\par
On a :
\[
2=\mathscr{A}'\times\dfrac{\sqrt{6}}{3}.
\]
On en déduit :
\[
\mathscr{A}'= \sqrt{6}.
\]
%
\end{questions}
%
\begin{methode}
On retiendra la méthode utilisée dans cet exercice (un grand classique des sujets de baccalauréat antérieurs).
\par
On considère un tétraèdre et, en calculant  son volume de deux manières différentes, on déduit, selon les problèmes, soit l'aire d'une des faces triangulaires du tétraèdre soit la distance d'un des sommets au plan contenant la face opposée à ce sommet.
\end{methode}
