Dans cet exercice, plaçons-nous dans le repère $\big(A;\gvec{AB},\gvec{AD},\gvec{AE}\big)$.
\begin{questions}
\item Dans ce repère, $\gvec{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ et $A(0;0;0)$ donc une représentation paramétrique de $(AG)$ est:
\[
\begin{cases}
x = t\\
y = t\\
z = t
\end{cases}\qquad,\qquad t\in\R.
\]

Ainsi,
\[
M\in(AG) \iff M(t;t;t),\ t\in\R.
\]

On souhaite que $(MD)$ et $(MB)$ soient orthogonales.
\begin{align*}
\gvec{MB}\cdot\gvec{MD}=0 & \iff \begin{pmatrix}1-t\\-t\\-t\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-t\\1-t\\-t\end{pmatrix}=0\\
& \iff -t(1-t) - t(1-t)  - t \times(-t) = 0\\
& \iff -t(1-t+1-t-t)=0\\
& \iff -t(2-3t)=0\\
& \iff t=0\text{ ou } t=\dfrac{2}{3}.
\end{align*}
Il existe donc deux points $M_1(0;0;0) = A$ et $M_2\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$ correspondant à notre recherche.
\begin{center}
\includegraphics{446_orthesp-04}
\end{center}
\newpage
\item Rappelons que le volume d'une pyramide est donné par la formule:
\[
\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}\times h
\]
où $\mathcal{A}$ représente l'aire d'une base et $h$ la hauteur de la pyramide relative à cette base.

Prenons $ABD$ pour base. Alors,
\[
\mathcal{A} = \dfrac{AD \times AB}{2} = \dfrac{1\times1}{2}=\dfrac{1}{2}
\]
et
\[
h = \dfrac{2}{3}.
\]
Ainsi,
\[
\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{9}.
\]
\end{questions}
