\begin{questions}
\item $A$, $B$ et $C$ définissent un plan si $\gvec{AB}$ et $\gvec{AC}$ (par exemple) ne sont pas colinéaires.
\[
\gvec{AB}\begin{pmatrix}-3\\1\\0\end{pmatrix}\qquad;\qquad\gvec{AC}\begin{pmatrix}0\\3\\-1\end{pmatrix}.
\]
De plus,
\[
\dfrac{0}{-3} \neq \dfrac{3}{1}
\]
donc les coordonnées de $\gvec{AB}$ et $\gvec{AC}$ ne sont pas proportionnelles. Par conséquent, $\gvec{AB}$ et $\gvec{AC}$ ne sont pas colinéaires.

\item $\gvec{AE}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$.
Si $E$ appartenait au plan $(ABC)$, $\gvec{AE}$ serait une combinaison linéaire de $\gvec{AB}$ et $\gvec{AC}$, donc il existerait deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que:
\begin{align*}
\gvec{AE} = \lambda\gvec{AB} + \mu\gvec{AC} & \iff \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}-3\\1\\0\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}0\\3\\-1\end{pmatrix}\\
& \iff \begin{cases}
2 = -3\lambda\\
-1 = \lambda + 3\mu \\
2 = -\mu
\end{cases}\\
& \iff \lambda = -\dfrac{2}{3},\ \mu = -2\text{ et }-1=-\dfrac{2}{3}+3\times(-2)
\end{align*}
La dernière égalité étant fausse, les réels $\lambda$ et $\mu$ n'existent pas, donc $E$ n'appartient pas au plan $(ABC)$.

\item
\begin{itemize}
\item $ABCD$ doit être un parallélogramme donc:
\begin{align*}
\gvec{AB} = \gvec{DC} & \iff \begin{pmatrix}-3\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-x_D\\2-y_D\\-1-z_D\end{pmatrix}\\
& \iff \begin{cases}
x_D=1+3=4\\
y_D = 2-1=1\\
z_D = -1
\end{cases}
\end{align*}
Donc $D(4;1;-1)$.

\Par

\item De plus,
\begin{align*}
\gvec{AE} = \gvec{BF} & \iff \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_F + 2\\y_F\\z_F\end{pmatrix}\\
& \iff \begin{cases}
x_F = 0\\
y_F = -1\\
z_F = 2
\end{cases}
\end{align*}

Donc $F(0;-1;2)$.

\item Ensuite,
\begin{align*}
\gvec{BC} = \gvec{FG} & \iff \begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_G\\y_G+1\\z_G-2\end{pmatrix}\\
& \iff \begin{cases}
x_G=3\\
y_G = 1\\
z_G = 1
\end{cases}
\end{align*}

Donc $G(3;1;1)$.

\item Enfin,
\begin{align*}
\gvec{FG} = \gvec{EH} & \iff \begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_H-3\\y_H+2\\z_H-2\end{pmatrix}\\
& \iff \begin{cases}x_H = 6\\y_H = 0\\z_H = 1\end{cases}
\end{align*}

Donc $H(6;0;1)$.
\end{itemize}

\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{AE}\cdot\gvec{AB} & = \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3\\1\\0\end{pmatrix}\\
& = 2\times(-3) + (-1)\times1 + 2\times0\\
& = -7.
\end{aligned}$

\item On sait que $\gvec{AE}\cdot\gvec{AB} = AE \times AB \times \cos\widehat{BAE}$. De plus,
\[
AE = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3
\]
et
\[
AB = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{10}.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
\gvec{AE}\cdot\gvec{AB} = AE \times AB \times \cos\widehat{BAE} & \iff \cos\widehat{BAE} = \dfrac{\gvec{AE}\cdot\gvec{AB}}{AE \times AB}\\
 & \iff \cos\widehat{BAE} = \dfrac{-7}{3\sqrt{10}}\\
 & \iff \widehat{BAE} \approx 138^\circ.
\end{align*}

\item
\begin{questions}
\item $\gvec{BK}\begin{pmatrix}\dfrac{3}{2}\\1\\-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ et $\gvec{BC}\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}$. Ainsi,
\[
\gvec{BC} = 2\gvec{BK}.
\]
Les vecteurs sont donc colinéaires, ce qui montre que $K$ appartient à la droite $(BC)$.

\item $\gvec{AK}\cdot\gvec{BK} =
\begin{pmatrix}-\dfrac{3}{2} \\ 2 \\ -\dfrac{1}{2}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\dfrac{3}{2}\\1\\-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix} = -\dfrac{9}{4} + 2 + \dfrac{1}{4} = 0$.

\item De la question précédente, on déduit que $(BC)$ est orthogonale à la droite $(AK)$. Or, $K$ appartient à $(BC)$ donc $AK$ représente bien la distance entre le point $A$ et la droite $(BC)$.
\begin{align*}
AK & = \sqrt{ \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 + 2^2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2}\\
& = \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{16}{4} + \dfrac{1}{4}}\\
& = \sqrt{\dfrac{26}{4}}\\
& = \dfrac{\sqrt{26}}{2}.
\end{align*}
L'unité graphique étant le centimètre, on déduit que la distance entre $A$ et la droite $(BC)$ est égale à $\dfrac{\sqrt{26}}{2}$~cm.

\item L'aire d'un parallélogramme est donnée par la formule :\[ \text{base} \times \text{hauteur}. \]

Ainsi, l'aire de $ABCD$, exprimée en cm$^2$, est égale à :
\begin{align*}
\mathcal{A}_{ABCD} = AK \times BC & = \dfrac{\sqrt{26}}{2} \times \sqrt{3^2+2^2+(-1)^2}\\
& = \dfrac{\sqrt{26}}{2} \times \sqrt{14}\\
& = \dfrac{\sqrt{26 \times 14}}{2}\\
& = \dfrac{\sqrt{2 \times 13 \times 2 \times 7}}{2}\\
& = \dfrac{2\sqrt{13\times7}}{2}\\
& = \sqrt{91}.
\end{align*}
\end{questions}

\item Un vecteur $\gvec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ normal au plan $(ABC)$ est tel que:
\begin{align*}
\begin{cases}
\gvec{n}\cdot\gvec{AB} = 0\\
\gvec{n}\cdot\gvec{AC} = 0
\end{cases} & \iff \begin{cases}
-3a+b=0\\
3b-c=0
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
b = 3a\\
c = 3b = 9a
\end{cases}
\end{align*}
En prenant $a=1$ par exemple, on trouve $\gvec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\9
\end{pmatrix}$.

\item Trouvons une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

On sait qu'elle est de la forme:
\[
x+3y+9z+d = 0
\]
car $\gvec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\9\end{pmatrix}$ est normal à ce plan.

De plus,
\[
B\in(ABC) \iff x_B+3y_B+9z_B+d = 0 \iff d = 2.
\]
On trouve finalement:
\[
(ABC)\quad:\quad x+3y+9z+2 = 0.
\]
La distance du point $E$ au plan $(ABC)$ est alors:
\begin{align*}
d\big(E;(ABC)\big) & = \dfrac{|x_E + 3y_E + 9z_E + 2|}{\sqrt{1^1+3^2+9^2}}\\& = \dfrac{|3 + 3\times(-2) + 9\times2 + 2|}{\sqrt{91}}\\
& = \dfrac{17}{\sqrt{91}}.
\end{align*}

\item Le volume du parallélépipède est donné par la formule:
\begin{align*}
\mathcal{V} & = \text{aire d'une base} \times \text{hauteur relative à cette base} \\
& = \mathcal{A}_{ABCD} \times d\big(E;(ABC)\big)\\
& = \sqrt{91}\times\dfrac{17}{\sqrt{91}}\\
& = 17\text{ cm}^3.
\end{align*}
\end{questions}
