Vérifions d'abord que les vecteurs sont unitaires :
\[
\begin{aligned}
\left\| \gvec{u}\right\|^2
&=\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(\dfrac{1}{9}\right)^2+
\left(\dfrac{8}{9}\right)^2
=\dfrac{16+1+64}{81}=1\;,\\
\left\| \gvec{v}\right\|^2
&=\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(\dfrac{8}{9}\right)^2+
\left(\dfrac{1}{9}\right)^2
=\dfrac{16+64+1}{81}=1\;,\\
\left\| \gvec{w}\right\|^2
&=\left(\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2+
\left(\dfrac{4}{9}\right)^2
=\dfrac{49+16+16}{81}=1.
\end{aligned}
\]
Ensuite, calculons les produits scalaires suivants pour montrer que
ces vecteurs sont deux à deux orthogonaux :
\[
\begin{aligned}
\vec{u} \cdot \vec{v}&=\dfrac{(-4)\times 4+1\times 8+8\times 1}{9\times  9}=0\;,\\
\vec{u} \cdot \vec{w}&=\dfrac{(-4)\times 7+1\times (-4)+8\times 4}{9\times  9}=0\;,\\
\vec{v} \cdot \vec{w}&=\dfrac{4\times 7+8\times (-4)+1\times 4}{9\times9}=0.
\end{aligned}
\]
Alors la famille de vecteurs $\left(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right)$ est une base orthonormée.

\begin{methode}
Pour prouver qu'une famille $\left(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right)$ de trois vecteurs est une base orthonormée de l'espace, on montre que les normes des trois vecteurs sont égales à 1 (on dit alors que les vecteurs sont normés ou unitaires) puis que les vecteurs sont deux à deux orthogonaux.
\end{methode}

