\begin{questions}
\item \textit{Faux}. L'entier \numprint{8775} possède 24 diviseurs. Pour calculer le nombre de diviseurs de \numprint{8775}, on le décompose en produit de facteurs premiers : $\numprint{8775}=3^3 \times 5^2 \times 13$. Le nombre de diviseurs de \numprint{8775} est donc\linebreak[4] $N = 4 \times 3 \times 2=24$.

Voir corrigé de l'exercice \ref{exNbDiv} pour une justification de ce calcul.

Sinon il \og suffit \fg{} d'écrire tous les diviseurs ... en faisant attention à ne pas en oublier !


\item \textit{Vrai}. Si $n=0$ ou $n=1$, alors $N=0$ donc $N$ est bien divisible par 5. Si $n>1$, on écrit $N$ sous forme factorisée : $N=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$. On remarque que le nombre $n(n-1)(n+1)$ est le produit de trois entiers consécutifs donc il est toujours pair et multiple de 3 donc divisible par 6. Il ne reste plus qu'à prouver que $N$ est toujours multiple de 5 pour pouvoir conclure.

\begin{itemize}
\item Si $n = 5k$, $n$ est évidemment divisible par 5 ;
\item Si $n=5k+1$ avec $k\in \N$, alors $n-1$ est multiple de 5 donc $N$ aussi ;
\item Si $n=5k+4$ avec $k\in \N$, alors $n+1$ est multiple de 5 donc $N$ aussi ;
\item Si $n=5k+2$ avec $k\in \N$, alors $n^2+1$ est multiple de 5 donc $N$ aussi ;
\item Si $n=5k+3$ avec $k\in \N$, alors $n^2+1$ est multiple de 5 donc $N$ aussi.
\end{itemize}

On peut donc conclure que, pour tout entier naturel $n$, $N$ est à la fois divisible par 6 et par 5. Comme 5 et 6 sont premiers entre eux, il en résulte que $N$ est divisible par leur produit 30.


\item \textit{Vrai}. En effet, 5 divise 65 et 20 donc il divise $65x-20y$. Or 5 ne divise par 1 donc il n'existe pas d'entiers relatifs $x$ et $y$ tels que  $65x-20y=1$.

\item \textit{Vrai}. On a $5^6=\numprint{15625}$, donc $5^6\equiv  1 \pod{7}$.

Or, $469 = 6\times78 + 1$. Donc $5^{469} = \left(5^6\right)^{78}\times5$. Par conséquent,\linebreak $5^{469}\times5\equiv 5 \pod{7}$.

Or, $80\equiv 3 \pod{7}$ donc $80 \times 5^{469} \equiv 1 \pod{7}$.

L'entier $80 \times 5^{469}-1$ est donc un multiple de 7.
\end{questions}
