\begin{questions}
\item \textit{Faux}. 12 est divisible par 6 et 20 est divisible par 10, mais le PGCD de 12 et 20 est 4.

\item \textit{Faux}. On considère les entiers $a=3$ et $b=4$. On prend $u=6$ et $v=-4$. On a alors $au+bv=2$, alors que le PGCD de $a$ et de $b$ est 1.


\item \textit{Vrai}. Comme $n \equiv 1 \pod {7} $ alors il existe un entier $k$ tel que $n=7k+1$. On a alors $3n+4=21k+7=7(3k+1)$ et $4n+3=28k+7=7(4k+1)$ donc les entiers $3n+4$ et $4n+3$ sont tous les deux divisibles par 7. Il reste à prouver que $3k+1$ et $4k+1$ n'ont aucun diviseur commun.

On remarque que $4(3k+1)-3(4k+1)=1$ donc, d'après le théorème de Bézout, les entiers $3k+1$ et $4k+1$ sont premiers entre eux. Par suite, on a bien PGCD$(3n+4,4n+3)=7$.

\item \textit{Faux}. Le PGCD de $a$ et $b$ est bien un diviseur de $a+b$, mais ce n'est pas toujours le plus grand diviseur propre. Pour $a=6$ et $b=4$, le PGCD de $a$ et $b$ est 2, mais la somme $a+b=10$ est divisible par 5.
\end{questions}
