\begin{questions}
\item Le reste ne peut être  $0$, $p$ serait divisible par $4$ (ce qui n'est pas possible puisque $p$ est premier), le reste peut être $1$.

Si le reste est 2, $p=4k+2=2(2k+1)$. Ce nombre n'est premier que si $2k+1=1$, soit $k=0$ ; alors $p = 2$.

Enfin le reste peut être $3$.

\item Le reste ne peut être 0, car alors $p$ serait divisible par 6, il peut être 1. Si le reste est 2,
$p = 6k + 2 = 2(3k +1)$. Ce nombre n'est premier que si $3k + 1 = 1$, soit si $k = 0$, et alors $p = 2$.

Si le reste est 3, $p = 6k + 3 = 3(2k + 1)$ ; ce nombre n'est premier que si $2k + 1 = 1$, soit si $k = 0$, et alors $p = 3$. Le reste 4 n'est pas possible : en effet si $p = 6k + 4$, $p = 2(3k + 2)$ ; ce nombre ne peut être premier car il n'existe pas de valeur de $k$ telle que $3k + 2 = 1$. 5 est un reste possible.


\item  Soit $p$ un nombre premier tel que $p \geqslant 5$.

Les restes possibles dans la division de $p$ par $4$ sont sont $1$ ou $3$ (question 1) et ceux de la division de $p$ par $6$ sont $1$ ou $5$ (question 2).


On doit donc \'etudier quatre cas.

\begin{itemize}
    \item  Cas 1.
    \[
    p \equiv 1\pod{4} \quad \text{et} \quad p \equiv 1\pod{6}.
    \]
    Il existe alors deux entiers naturels $n_{1}$ et $n_{2}$ tels que :
    \[
    p = 4 n_{1} + 1 \quad \text{et}\quad p=6n_{2}+1.
    \]
    On a donc :
    \[ 4n_{1}+1 = 6n_{2}+1\;, \]
    d'o\`u :
    \[ 2n_{1} = 3n_{2}. \]
    Comme $2$ divise $3n_{2}$ et est premier avec $3$, il r\'esulte du th\'eor\`eme de Gauss que $n_{2}$ est pair.

    Il existe donc un entier naturel $k$ tel que $n_{2}=2k$.

    On a alors :
    \[
    p = 12 k + 1 \quad\text{et}\quad p^{2} - 1 = 24 (6k^2+k)\;,
    \]
    ce qui montre que $p^{2}-1$ est divisible par $24$.

    \item  Cas 2.
    \[
    p \equiv 3\pod{4} \quad\text{et}\quad p \equiv 5\pod{6}.
    \]
    Il existe alors deux entiers naturels $n_{1}$ et $n_{2}$ tels que :
    \[
    p = 4 n_{1} + 3 \quad \text{et}\quad p=6n_{2}+5.
    \]
    On a donc :
    \[ 4n_{1}+3 = 6n_{2}+5\;, \]
    d'o\`u :
    \[ 2n_{1} = 3n_{2}+1.\]
    Par cons\'equent, $3n_{2}+1$ est pair, donc $3n_{2}$ est impair.

    L'entier $n_{2}$ \'etant alors impair, il existe un entier $k$ tel que $n_{2}=2k+1$.

    On en d\'eduit que :
    \[
    p^{2} - 1 = (12k+11)^{2} - 1 = 24 (k+1)(6k+5)\;,
    \]
    ce qui montre que $p^{2}-1$ est divisible par $24$.


    \item  On \'etudierait de m\^eme le cas 3 :
    \[
    p \equiv 1\pod{4} \quad\text{et}\quad p \equiv 5\pod{6}
    \]
    et le cas 4 :
    \[
    p \equiv 3\pod{4} \quad\text{et}\quad p \equiv 1\pod{6}.
    \]
\end{itemize}
\end{questions}
