 Remarquons tout d'abord que :
 \[
 n^2+3n+2=(n+1)(n+2)\]
 et \[ 2n+3=(n+1)+(n+2). \]
Or, si un entier $d$ divise deux entiers $a$ et $b$ alors il divise toute combinaison linéaire à coefficients entiers de ces deux entiers.\par
Posons $a=2n+3$ et $b=n^2+3n+2$. \par
Soit $d$ un diviseur commun à $a$ et $b$.\par
Alors $d$ divise $2b-(n+1)a$ soit $d$ divise $n+1$.\par
Mais alors $d$ divise aussi $(2n+3)-2(n+1)$ soit $d$ divise 1. On en déduit que $d=1$.
On peut alors conclure que le seul diviseur commun à $n^2+3n+2$ et $2n+3$ est 1, ce qui prouve que ces deux nombres sont premiers entre eux.

\begin{methode}
Pour montrer que deux entiers sont premiers entre eux, on dispose de quatre méthodes :
\begin{itemize}
\item
On utilise le théorème de Bezout : deux entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$.
\item
On désigne par $d$ un diviseur commun aux deux entiers, puis, en utilisant des combinaisons linéaires judicieusement choisies de ces deux entiers, on montre que $d=1$.
\item
On montre, en le calculant (par exemple par l'algorithme d'Euclide), que le PGCD de ces deux entiers  est égal à 1.
\item
On utilise un raisonnement par l'absurde (on suppose que les deux entiers ne sont pas premiers entre eux et on montre que ceci conduit à une contradiction).
\end{itemize}
\end{methode}
