\begin{questions}
\item Appliquons l'algorithme d'Euclide :
\begin{align*}
23 & = 7\times 3+2\\
7 & = 2\times 3+1.
\end{align*}
Alors, $2\times 3=7-1$. Multiplions par $3$ la première \'egalit\'e :
\begin{align*}
23\times 3 & =7\times 9+2\times 3\\
& =7\times 9+7-1\\
& =7\times 10-1.
\end{align*}
Donc:
\[23\times 3-7\times 10=-1\;,\]
d'où :
\[23\times (-3)+7\times 10=1.\]

\begin{methode}
Comme 23 et 7 sont premiers entre eux, le théorème de Bézout assure l'existence d'un couple d'entiers $(\alpha,\beta)$ tels que $23\alpha+7\beta=1$.\par
L'algorithme d'Euclide permet ensuite de trouver un couple d'entiers répondant à la question.
\end{methode}

\item Alors en multipliant par $(-6)$ : \ $23\times 18 -7\times 60= -6$. Soit un couple d'entiers $(u~;v)$ vérifiant $23u-7v=-6$ :
\begin{align*}
23u-7v=-6 &\iff 23(u-18)-7(v-60)=0\\
&\iff 23(u-18)=7(v-60).
\intertext{Or, 23 et 7 sont premiers entre eux, d'où :}
23u-7v=-6 &\iff 23\mid (v-60)\quad\text{et}\quad 7\mid (u-18)\\
& \qquad\quad\text{et}\quad
\frac{v-60}{23}=\frac{u-18}{7}\\
&\iff v=60+23m\quad\text{et}\quad u=18+7m\quad\text{avec $m\in\Z$.}
\end{align*}

Donc un couple vérifiant l'égalité est, par exemple, celui obtenu pour $m = 0$, soit $(60~; 18)$.

\enlargethispage*{2\baselineskip}

\item Soit un entier $x$ :
\begin{align*}
\text{$x$ solution de  }(S) &
\iff \left\{
\begin{aligned}
& x=10+23u\quad (u\in\Z)\\
&10+23u\equiv 4\pod{7}
\end{aligned}\right.
\\
&\iff \left\{
\begin{aligned}
& x=10+23u\quad (u\in\Z)\\
& 23u\equiv -6\pod{7}
\end{aligned}\right.
\\
&\iff\left\{
\begin{aligned}
& x=10+23u\quad (u\in\Z)\\
& 23u=-6+7v\quad (v\in\Z)
\end{aligned}\right.
\\
&\iff
\left\{\begin{aligned}&x=10+23u\quad (u\in\Z)\\
&u=18+7m\quad (m\in\Z)\end{aligned}\right.\\
&\iff x=10+23(18+7m)=424+161m\\
&\hphantom{\iff}\quad\text{pour un certain $m\in\Z$.}
\end{align*}
\item \hbox{}
{\small
 \bigskip
\[
\hspace*{-1cm}\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
m&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
\begin{gathered}
  x\\=424+161m
\end{gathered}
&585&746&907&1068&1229&1390&1551&\begin{gathered}1712\\=16\times
107\end{gathered}
\end{array}
\]
}

La plus petite solution $x_{0}$ divisible par $16$ est $\numprint{1712}$.
\end{questions}
