On nous demande ici de résoudre une équation diophantienne classique:
\[
5x-17y=3.
\]
\begin{itemize}
\item \'Etape 1: calcul de $\PGCD(5,17)$.
\Par
$\PGCD(5,17)=1$ car 5 et 17 sont premiers entre eux.

La propriété sur les équations diophantiennes nous assure donc l'existence de solutions à cette équation car $\PGCD(17,5)$ divise 3.

\item \'Etape 2: exploitation de l'algorithme d'Euclide.
\begin{align*}
17 & = 3 \times 5 + 2\\
5 & = 2 \times 2 + 1
\end{align*}
On en déduit, en remontant l'algorithme:
\begin{align*}
1 & = 5 - 2 \times 2\\
  & = 5 - (17 - 3\times5)\times2\\
  & = 7 \times 5 - 2\times 17.
\end{align*}
D'où:
\[
3 = 21 \times 5 - 6 \times 17.
\]
Ainsi, le couple $(x=21;y=6)$ est une solution particulière de l'équation $5x-17y=3$.

\begin{Remarque}on aurait aussi pu remarquer, sans faire appel à l'algorithme d'Euclide, que $5\times4 - 1\times17=3$ et ainsi obtenir un autre couple solution: $(4;1)$.
\end{Remarque}

\item \'Etape 3: utilisation de la solution particulière.
\Par
On a:
\begin{align*}
5x - 17y & = 3\\
5\times21 - 17\times2 & = 3
\end{align*}
Par différence, on déduit:
\[
5(x-21) - 17(y-2) = 0 \qquad \text{soit}\qquad 5(x-21)=17(y-2).
\]
Le fait que $\PGCD(17,5)=1$ nous assure, d'après le théorème de Gauss, que:
\[
5|(y-2)\qquad\text{et}\qquad 17|(x-21)
\]
soit:
\[
\forall k\in\Z,\quad
\begin{cases}
y-2 &= 5k\\
x-21 &= 17k
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x=21+17k\\
y=2+5k
\end{cases}
\]
L'ensemble solution de l'équation $5x-17y=3$ est donc:
\[
\mathcal{S} = \{ 21+17k ; 2+5k)\quad,\quad k\in\Z\}.
\]
\end{itemize}

