\begin{questions}
\item On a:
\begin{align*}
     & (x;y) \text{ est solution de }(S) \\
\iff & \exists(x';y')\in(\N^*)^2,\ \begin{cases}x=13x' \text{ et } y=13y' \text{ avec } \PGCD(x';y')=1\\
13x'+13y'=13\times9
\end{cases}\\
\iff & \exists(x';y')\in(\N^*)^2,\  \begin{cases}
x'+y'&=9\\
\PGCD(x';y')&=1
\end{cases}
\end{align*}

\item Recherchons les entiers naturels non nuls $x'$ et $y'$ premiers entre eux dont la somme vaut 9. On trouve:
\[
(1; 8);(2 ; 7);(4 ; 5);(5 ; 4);(7 ; 2);(8 ; 1).
\]
En multipliant chacune de ses valeurs par 13, on obtient les couples $(x;y)$ solutions de $(S)$:
\[
\mathcal{S} = \{ (13 ; 104)         ; (28 ; 91) ; (52 ; 65) ; (65 ; 52) ; (91 ; 28) ; (104 ; 13) \}.
\]
\end{questions}
