Consid\'erons la d\'ecomposition de $n$ en produit de facteurs
premiers :
\[
n = p_{1}^{a_{1}} \times \cdots \times p_{k}^{a_{k}}
\]
o\`u $p_{1}$, \dots, $p_{k}$ sont des nombres premiers deux \`a deux
distincts et $a_{1}$, \dots, $a_{k}$ sont des entiers naturels non
nuls. On a alors :
\[
n^{2} =p_{1}^{2a_{1}} \times \cdots \times p_{k}^{2a_{k}}\;,
\]
soit, comme $n^{2}=uv$ :
\[
uv = p_{1}^{2a_{1}} \times \cdots \times p_{k}^{2a_{k}}.
\]
Comme $p_{1}$, \dots, $p_{k}$ sont des nombres premiers, la d\'ecomposition de $u$ et $v$ en produits de facteurs premiers est de la forme :
\[
    u = p_{1}^{c_{1}} \times \cdots \times p_{k}^{c_{k}} \quad\text{et}\quad
    v = p_{1}^{d_{1}} \times \cdots \times p_{k}^{d_{k}}
\]
o\`u $c_{i}=0$ dans le cas o\`u le facteur premier $p_{i}$ ne figure
pas dans la décomposition de $u$, ou $c_{i} = 2a_{i}$ dans le cas contraire.

En effet, comme $u$ et $v$ sont premiers entre eux, ils ne peuvent avoir aucun facteur premier en commun.

On a de m\^eme $d_{i}=0$ ou $d_{i} = 2a_{i}$.

Dans tous les cas, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $k$, $c_{i}$ et $d_{i}$ sont pairs, donc $u$ et $v$ sont des carr\'es.
