Dès que l'on doit démontrer une divisibilité où il y a une puissance, on peut penser aux congruences.

$\PGCD(10;7)=1$ et 7 est un nombre premier; on peut alors appliquer le petit théorème de Fermat:
\[
10^{7-1} \equiv 1 \pod{7} \iff 10^{6} \equiv 1 \pod{7}
\]
En en déduit:
\[
\forall k\in\N,\quad \big(10^6\big)^k \equiv 1 \pod{7} \iff 10^{6k} \equiv 1 \pod{7} \ (1).
\]
De plus, $10 \equiv 3 \pod{7}$, d'où:
\[
10^4 \equiv 3^4 \pod{7}\qquad\text{soit}\qquad 10^4 \equiv 4 \pod{7}\ (2).
\]
Des congruences $(1)$ et $(2)$, on déduit:
\begin{align*}
10^{6k} \times 10^4 \equiv 1 \times 4 \pod{7} & \iff
10^{6k+4} \equiv 4 \pod{7}\\
& \iff 10^{6k+4}+3 \equiv 4 + 3 \pod{7}\\
& \iff 10^{6k+4}+3 \equiv 0 \pod{7}.
\end{align*}
Ainsi, $10^{6k+4}+3$ est bien divisible par 7, quelle que soit la valeur de l'entier naturel $k$.
