$n$ est un nombre premier donc, d'après le petit théorème de Fermat,
\[
\forall k\in\N,\ k<n,\ k^{n-1} \equiv 1 \pod{n}.
\]
On en déduit:
\begin{align*}
& \sum_{k=1}^{n-1} k^{n-1} \equiv \sum_{k=1}^{n-1} \pod{n} \\
\iff & 1^{n-1} + \cdots + (n-1)^{n-1} \equiv n-1 \pod{n} \\
\iff & 1^{n-1} + \cdots + (n-1)^{n-1} + 1 \equiv n \pod{n}\\
\iff & 1+ 1^{n-1} + \cdots + (n-1)^{n-1} \equiv 0 \pod{n}.
\end{align*}

