Le nombre $M_n$ est la somme des $n$ premiers termes de la suite géométrique de terme général :
\[
V_n=10^{n}, \quad M_n=\dfrac{10^{n}-1}{9}.
\]
Supposons que $n=pq$ avec $p$ et $q$ deux entiers. Nous pouvons écrire la décomposition en $M_n$ en deux facteurs :
\[
M_n=\left( \dfrac{10^{pq}-1}{10^{q}-1} \right) \left(
\dfrac{10^{q}-1}{10-1}
\right).
\]
Ces deux termes sont des entiers (sommes des premiers termes de suites géométriques à termes entiers).
\par
Comme $M_n$ est premier, l'un de ces termes vaut $1$, ce qui correspond à $p=1$ ou à $q=1$. Donc $n$ est premier.
