Factorisons le premier membre de l'équation : $p=(x+y)(x-y)$.

Comme $p$ est un nombre premier, l'un des deux facteurs est égal à 1 ou à $-1$.

On a donc 4 possibilités :

\begin{itemize}
\item $x + y = 1$, et alors $x-y = p$ ; on a donc $x=\dfrac{1+p}{2}$ et $y=\dfrac{1-p}{2}$, $p$ étant un nombre premier. Les solutions sont les couples $\left(\dfrac{1+p}{2}~;\dfrac{1-p}{2}\right)$, $p$ étant un nombre premier.

\item $x-y = 1$ et alors $x + y = p$ ; les solutions sont alors les couples de la forme $\left(\dfrac{1+p}{2}~;\dfrac{p-1}{2}\right)$, $p$ étant un nombre premier.

\item $x + y = -1$, et alors $x-y = -p$ ; les solutions sont alors les couples de la forme $\left(\dfrac{-p-1}{2}~;\dfrac{p-1}{2}\right)$, $p$ étant un nombre premier.

\item $x-y = -1$, et alors $x + y = -p$ et $y = -x-p$ ; les solutions sont alors les couples de la forme $\left(\dfrac{-p-1}{2}~;\dfrac{1-p}{2}\right)$, $p$ étant un nombre premier.
\end{itemize}
