\begin{questions}
   \item D'après la compatibilité de la multiplication avec la
   congruence et comme $10 \equiv 1 \pod{9}$, on a :
   \[
   10^n \equiv 10\times 10\times \cdots \times 10 \equiv 1\times
   1\times \cdots \times 1 \equiv 1 \pod{9}.
   \]

    \item Il suffit de voir que l'on a :
   \[
   10u+v \equiv u+v \pod {9}.
   \]
   Donc l'un des membres est congru à {0} modulo 9 si et seulement si l'autre
   membre est congru à $0$ modulo 9.

  \item Comme la relation de congruence est compatible avec la
   multiplication, nous avons, pour tout entier $n$ positif, la
   relation suivante :
   \[
   10^n \equiv 1 \pod{9}.
   \]
   Écrivons $n=a_0\times10^0+a_1\times10^1+a_2\times10^2+ \cdots +
   a_n\times10^n$ en base $10$, comme la relation de congruence est
   compatible avec l'addition, nous obtenons
   \[
   n \equiv a_0+a_1+a_2+ \cdots +a_n
   \pod{9}.
   \]
   Ainsi $9$ divise $n$ si et seulement si $9$ divise la somme des  chiffres qui composent $n$ en base 10.
\end{questions}
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