\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Montrons que $3\im $ est racine de:
\[
z^4-14z^3+74z^2-126z+585.
\]
Commençons par calculer les puissances
itérées de $3\im $ :
\[
(3\im )^1=3\im,\quad
(3\im )^2=-9,\quad
(3\im )^3=-27\im,\quad\text{et}\quad
(3\im )^4=81.
\]
Calculons ensuite $P(3\im )$ :
\[
P(3\im )=81-14\times(-27\im )+74\times(-9)-126
\times(3\im )+585=0.
\]
\item Comme $P$ est à coefficients réels, pour tout z on a :
\[
\overline{P(z)}=P\left(\overline{z}\right).
\]
Ainsi si $z$ est racine de $P$, $\overline{z}$ est aussi racine de
$P$.
\par
On en déduit que $-3\im $ est aussi racine de $P$.
\end{questions}
\item Par une méthode de coefficients indéterminés, on trouve :
\[
P(z)=(z^2+9)(z^2-14z+65).
\]
Les racines de $z^2+9$ sont $3\im$ et $-3\im$ (déjà connues). Les autres racines de $P$ sont les solutions $z_1$ et $z_2$ de
$z^2-14z+65=0$ :
\[
\Delta=-64\qquad \text{donc}\qquad z_1=7+4\im \quad\text{et}\quad z_2=7-4\im.
\]
Les racines de $P$ forment donc l'ensemble $\{-3\im~;~3\im~;~7-4\im~;~7+4\im\}$.
\end{questions}
