\begin{questions}
\item $Z=(3-\im)z+(3\im-\bar{z})\im$ donc, par propriétés du conjugué,
\[
\overline{Z}=\overline{(3-\im)}\bar{z}+\overline{(3\im-\bar{z})}\bar{\im}=(3+\im)\bar{z} + (z+3\im)\im.
\]

\item En posant $z=x+y\im$, on a:
\begin{align*}
Z & = (3-\im)(x+y\im)+(3\im-(x-y\im)\im\\
  & = 3x+3y\im -x\im-y\im^2+3\im^2-x\im+y\im^2,\quad\text{avec }\im^2=-1\\
  & = 3x-3 + (3y-2x)\im.
\end{align*}

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
Z\text{ est un réel } & \iff \Im(Z)=0 \\
& \iff 3y-2x=0\\
& \iff y = \dfrac{2}{3}x.
\end{aligned}$

Ainsi, l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $Z$ est un réel est l'ensemble:
\[
\left\{ z = x + \dfrac{2}{3}x\im,\ x\in\R \right\}.
\]

\item $\begin{aligned}[t]
Z\text{ est un imaginaire pur} & \iff \Re(Z)=0\\
& \iff 3x-3=0\\
& \iff x = 1
\end{aligned}$

Ainsi, l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $Z$ est un imaginaire pur est l'ensemble:
\[
\left\{ z = 1 + y\im,\ y\in\R \right\}.
\]
\end{questions}
\end{questions}
