\begin{questions}
\item \label{chap9ex7_1}
\textit{Faux}. Comparons les modules de $\dfrac{\sqrt{3}-\im}{1+\im}$ et de $\nep^{-\frac{5\im \pi}{12}}$ : \Par
$$\left|\nep^{-\frac{5\im \pi}{12}}\right|=1 \quad ; \quad
\left|\sqrt{3}-\im \right|=2 \qquad ; \quad
\left|1+\im\right|=\sqrt{2}.$$
Comme le module d'un quotient est égal au quotient des modules,
\[
\left|\dfrac{\sqrt{3}-\im}{1+\im}\right|=\sqrt{2}.
\]
Les deux nombres complexes considérés ont des modules différents; ils ne sont donc pas égaux.

\item \textit{Vrai}. Il suffit de multiplier les deux termes du quotient par le conjugué du dénominateur et d'effectuer les produits :
\[
\dfrac{1+\im}{1-\im}= \dfrac{(1+\im)^2}{(1+\im)(1-\im)}=\im.
\]

\item \textit{Vrai}. On écrit le nombre complexe $\dfrac{\sqrt{2}(1-\im)}{\sqrt{3}-\im}$ sous forme exponentielle. Pour cela, on en détermine le module et un argument.\par
$$\left|\sqrt{2}(1-\im)\right|=2 \qquad \left|\sqrt{3}-\im\right|=2\;, $$
donc :
\[
\left|\dfrac{\sqrt{2}(1-\im)}{\sqrt{3}-\im}\right|=1.
\]
$$\arg{\left(\sqrt{2}(1-\im)\right)}=-\dfrac{\pi}{4}\pod{2\pi} \qquad ; \qquad
\arg{\left(\sqrt{3}-\im\right)}=-\dfrac{\pi}{6}\pod{2\pi}.$$
On en déduit que:
\[
\arg{\dfrac{\sqrt{2}(1-\im)}{\sqrt{3}-\im}}=-\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{12}.
\]
Par conséquent,
\[
\dfrac{\sqrt{2}(1-\im)}{\sqrt{3}-\im}=\nep^{-\frac{\im \pi}{12}}.
\]
%
\item \textit{Vrai}. Il suffit de multiplier les deux termes du quotient par le conjugué du dénominateur.
%
\item \textit{Faux}. On raisonne comme à la question \ref{chap9ex7_1} en comparant les modules des deux nombres complexes.

$\left|\dfrac{-1+\im}{1+\im\sqrt{3}}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\left|\nep^{-\frac{5\im \pi}{12}}\right|=1$, donc ces deux nombres complexes ne sont pas égaux.
\end{questions}
