\begin{questions}
\item
Écrivons $1+\im $ sous la forme exponentielle : \
$\displaystyle 1+\im =\sqrt{2}\nep^{\im \frac{\pi}{4}}$.\\

Ainsi on peut alors calculer aisément :
$$
(1+\im )^{11}=\left( \sqrt{2}\right)^{11}\nep^{\im \frac{11\pi}{4}} .
$$
Enfin notons que  \ $\displaystyle \nep^{\im \frac{11\pi}{4}}=\nep^{\im \frac{3\pi}{4}}$.
On a donc :
$$(1+\im )^{11}=\left( \sqrt{2} \right)^{11}\nep^{\im\frac{3\pi}{4}}
=32 \sqrt{2} \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{\im }{\sqrt{2}} \right)
=-32+32\im .
$$
\item
Notons que  \ $(-1-\im )^{15}=-(1+\im )^{15}$ puisque l'exposant est impair.
On peut donc comme ci-dessus obtenir, en utilisant ici  $\nep^{\im \frac{15\pi}{4}}=\nep^{-\im \frac{\pi}{4}}$\  :
\[
(-1-\im )^{15}=-(\sqrt{2})^{15} \nep^{\im \frac{15\pi}{4}} =-(\sqrt{2})^{15} \nep^{-\im\frac{\pi}{4}}
=-128\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{\im }{\sqrt{2}}\right)\;\]
soit : $(-1-\im )^{15}=-128+128\im \;.$
\end{questions}
