\begin{questions}
\item Calculons $u^2$ sous forme algébrique :
\[
u^2=2+\sqrt{2}-2+\sqrt{2}-2\im \sqrt{2} =2\sqrt{2}-2\im\sqrt{2}.
\]
\item On voit immédiatement que
\  $\displaystyle \arg(u^2)=\dfrac{-\pi} {4}\text{ et que }|u|^2=4$.

$2\arg(u)=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$ et donc $\arg(u)=-\dfrac{\pi}{8}+k\pi$, $k$ étant un entier relatif.

Il y a donc à ce stade deux valeurs possibles pour l'argument de $u$ modulo $2\pi$.

On va donc regarder le signe de la partie réelle et de la partie imaginaire de $u$ pour savoir dans quel quadrant du cercle trigonométrique le point image de $u$ se situe.

La partie réelle de $u$ est négative, et sa partie imaginaire positive, donc son point image se situe dans le deuxième quadrant.

On a donc $\arg(u) = \dfrac{7\pi}{8}$.

On en déduit que $\displaystyle u=2\nep^{\im \frac{7\pi}{8}}$.
\item On a donc les égalités trigonométriques suivantes :
\[
\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \quad\text{ et}\quad
\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} .
\]
\end{questions}
