\begin{questions}
\item Calculons le discriminant de ${E}$ :
\[
\Delta=6^2-4\times 12=-12.
\]
Les solutions sont donc complexes conjuguées et valent  :
\[
u=3+\im \sqrt{3}
\quad
\text{et}
\quad
\overline{u}=3-\im \sqrt{3}.
\]
\item\label{compl_ex12} On a : $|u|^2=9+3=12$. On obtient donc :
$$
u=2\sqrt{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\im}{2}\right)
=2\sqrt{3}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+
\im \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right) .$$

On en déduit : \ $|u|=2\sqrt{3}$. Alors, modulo $2\pi$, $\arg(u)=\dfrac{\pi}{6}$. \medskip

Comme le point d'affixe $\overline{u}$ est le symétrique du point d'affixe $u$ par rapport à l'axe des abscisses, on a $|\overline{u}|=2\sqrt{3}$, et modulo $2\pi$,\\
$\arg(\overline{u})=-\dfrac{\pi}{6}$.

\item Tout d'abord, $u-4=-1+\im \sqrt{3}$, donc $|u-4|=\sqrt{(-1)^2+3}=2$.

$\cos\big(\arg(u-4)\big)=-\dfrac{1}{2}$, et $\sin\big(\arg(u-4)\big)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc\\ $\arg(u-4)=\dfrac{3\pi}{2}\pod{2\pi}$, ce qui donne la forme trigonométrique de $u-4$ :
\[
u-4=-1+\im \sqrt{3}
=2\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+
\im \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right).
\]

\item\label{compl_ex13} Calculons le module de $\dfrac{u}{u-4}$ :
\begin{align*}
\left|{u\over u-4}\right|&={|u|\over |u-4|}=\sqrt{3}. \\
\intertext{Calculons alors, modulo $2\pi$, l'argument de $\dfrac{u}{u-4}$ : }
\arg\left(\dfrac{u}{u-4}\right)&=\arg(u)-\arg(u-4)
=-{\pi\over 2}. \\
\intertext{Comme $\dfrac{\overline{u}}{\overline{u}-4}$ est le conjugué de
$\dfrac{u}{u-4}$, \ on a : }
\end{align*}
$$\left|\dfrac{\overline{u}}{\overline{u}-4}\right|=\sqrt{3}
\quad\text{et}\quad
\arg\left(\dfrac{\overline{u}}{\overline{u}-4}\right)=\dfrac{\pi}{2}.$$

\item Appelons $O$ l'origine, $A$ le point d'affixe $4$, $U$ celui d'affixe $u$ et $V$ d'affixe $\overline{u}$, $\mathscr{C}$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ et $\mathscr{C}'$ le cercle de diamètre $[OA]$.
\par
La question \ref{compl_ex12} nous dit que le point $U$ est sur la demi-droite $\mathcal{D}$ d'équation  :
\[
\arg{z}=\dfrac{\pi}{6} .
\]
Or, on sait que $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$, donc on trace la droite d'équation $y=\dfrac{1}{2}$ qui coupe le cercle trigonométrique en un point M tel que $\left(\gvec{OA},\gvec{OM}\right)=\dfrac{\pi}{6}$.

Et la question \ref{compl_ex13} nous dit
que le point $U$ est sur $\mathscr{C}'$ car le triangle $OAU$ est rectangle en $U$. On peut donc construire le point $U$. Le point $V$ est le symétrique de $U$ par rapport à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{09-corriges-fig1}
\end{center}
\end{questions}
