\begin{questions}
\item Posons
$P(z)=z^3+(\sqrt{3}-\im )z^2+(1-\sqrt{3}\im )z-\im$ \ et calculons \ $P(\im )$ :
\[
P(\im )=-\im +\im -\sqrt{3}+\im +\sqrt{3}-\im =0.
\]
Le nombre $\im $ est donc solution de $(\mathcal{E})$.
\item  Factorisons $P$ :
\begin{align*}
P(z)&=z^3-\im z^2+\sqrt{3}(z^2-\im z)+z-\im\\
&=(z-\im)z^2+(z-\im)\times\sqrt{3}z+z-\im\\
&=(z-\im )(z^2+\sqrt{3}z+1).
\end{align*}
Les deux autres racines de $(\mathcal{E})$ sont donc les solutions de l'équation
$(\mathcal{E'})$ :
\begin{equation}
\label{compl_ex14}
z^2+\sqrt{3}z+1=0 \tag{$\mathcal{E}'$}
\end{equation}
Calculons le discriminant de \eqref{compl_ex14} :  $\Delta=3-4\times1=-1$.\\
On obtient alors les deux solutions $z_1$ et $z_2$ :
\[
z_1=\dfrac{-\sqrt{3}+\im}{2}
\quad
\text{et}
\quad
z_2=\dfrac{-\sqrt{3}-\im}{2}.
\]
\item On obtient immédiatement leurs formes trigonométriques :
$$\begin{aligned}
\im &=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\im \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \\
z_1&=\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)+\im \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) \\
z_2&=\cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)+\im \sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right).
\end{aligned}$$

\begin{center}
\includegraphics{09-corriges-fig2}
\end{center}
\end{questions}
