\begin{questions}
\item\label{compl_ex7} Le nombre complexe $z=x+\im y$ vérifie la relation
$z-\im \overline{z}=0$ si et seulement si :
\begin{align*}
x+\im y-\im (x-\im y)&=0 \\
(x-y)+\im (y-x)&=0 \\
y&=x.
\end{align*}
La fonction $f$ est définie sur le plan tout entier privé de la
droite d'équation $y=x$.
%
\item Calculons $f(\im )$ et écrivons-le sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique : \enlargethispage*{2\baselineskip}
\begin{align*}
f(\im )&=\dfrac{\im}{1-\im}=\dfrac{\im (1+\im )}{2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\im}{2} \\
&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+\im \sin
  \left(\dfrac{3\pi}{4}\right) \right).
\intertext{En appliquant la formule de Moivre, on trouve :}
\left(f(\im )\right)^4&=\dfrac{1}{4}\left(\cos(\pi)+\im \sin(\pi)\right)=-\dfrac{1}{4}.
\end{align*}
Donc $\big(f(\im )\big)^{4}$ est réel.
\end{questions}
