\begin{questions}
\item Notons $B$ le point d'affixe $-3+2i$ et $A$ celui
d'affixe $2-i$, on a alors :
\[
|z'|=\dfrac{|z-(-3+2\,\im)|}{|z-(2-\im)|}=\dfrac{BM}{AM}.
\]
\item Les points $M$ tel que $|z'|=1$ sont les points $M$ tel que
$AM=BM$, soit la médiatrice de $[AB]$.
\item L'affixe de $\gvec{BM}$ est $z+3-2 \im$ et celui de $\gvec{AM}$ est $z-2+ \im$,
donc :
\[
\arg(z')=\arg\left(\dfrac{z+3-2\im}{z-2+\im }\right)=(\gvec{AM}, \gvec{BM}) \pod{2\pi}.
\]
\item Comme $(\gvec{AM}, \gvec{BM}) = (\gvec{MA}, \gvec{MB})$, on en déduit que les points pour lesquels $z'$ est imaginaire pur sont soit le point $B$ car alors $z'=0$, soit les points $M$ tels que :
\[
\left(\gvec{MA},\gvec{MB}\right)=\pm\dfrac{\pi}{2} \pod{2\pi}.
\]
Finalement cet ensemble est le cercle de diamètre $[AB]$ privé du
point $A$. (Revoir la caractérisation angulaire d'un cercle.)
\item Par le calcul, notons $z=x+\im y$ et remplaçons :
\[
\begin{aligned}
|z'|=1
&\iff (x+3)^2+(y-2)^2=(x-2)^2+(y+1)^2 \\
&\iff
5x-3y+4=0.
\end{aligned}
\]
Cet ensemble de points est donc bien une droite comme l'assure le
raisonnement géométrique.\\
Il reste à vérifier que cette droite est bien la médiatrice de $[AB]$.\\
Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{2}~;\dfrac{1}{2}\right)$. Il est bien sur la droite car ses coordonnées vérifient son équation.\\
De plus, un vecteur directeur $\vec{u}$ de cette droite a pour coordonnées $(3~;5)$ et le vecteur $\gvec{AB}$ a pour coordonnées $(-5~;3)$. Le produit scalaire\linebreak[4] $\vec{u}\cdot\gvec{AB} = 3 \times (-5)+5 \times 3 = 0$. Donc les vecteurs sont orthogonaux. La droite est donc perpendiculaire à $[AB]$ et passe par son milieu, c'est donc bien la médiatrice de ce segment.

\item Le complexe $z'$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle
est nulle.
\par
Exprimons $z'$ sous forme algébrique :
\[
\dfrac{z+3-2\im}{z-2+\im }=\dfrac{(x+3)+\im (y-2)}{(x-2)+\im(y+1)}.
\]
Alors,
\begin{multline*}
\dfrac{z+3-2\im}{z-2+\im }=\dfrac{(x+3)(x-2)+(y+1)(y-2)}{(x-2)^2+(y+1)^2}\\
+\im
\dfrac{(x-2)(y-2)-(y+1)(x+3)}{(x-2)^2+(y+1)^2}.
\end{multline*}
Ainsi $z'$ est imaginaire pur si et seulement si :
\[
(x+3)(x-2)+(y+1)(y-2)=0 \quad \text{et}\quad z\neq2-\im.
\]
On développe et factorise à nouveau pour obtenir :
\[
(x+3)(x-2)+(y+1)(y-2)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+
\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{17}{2}=0.
\]

L'ensemble des points vérifiant cette équation est bien un cercle, de centre le point $I$ milieu de $[AB]$ de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{2}~;\dfrac{1}{2}\right)$. C'est le cercle de diamètre de $[AB]$ car le point $A$ de coordonnées $(2~;-1)$ est sur ce cercle. Cependant, le point $A$ ne fait pas partie de l'ensemble des solutions (condition $z\neq2-\im$).\\
On retrouve donc bien que l'ensemble cherché est le cercle de diamètre $[AB]$, privé du point $A$.

\begin{center}
 \includegraphics{09-corriges-fig3}
\end{center}
\end{questions}
