\begin{questions}
\item Notons $\Re(z)=x$ et $\Im(z)=y$ et raisonnons par équivalences
successives :
\begin{align*}
z+\overline{z}=|z|
&\iff  2x=\sqrt{x^2+y^2}\text{ et }x\geqslant 0\\
&\iff 4x^2=x^2+y^2\text{ et }x\geqslant 0
\quad\text{(on a élevé au carré)}.\\
\intertext{Finalement après réduction et factorisation on trouve que :}
z+\overline{z}=|z|
&\iff
\left(\sqrt{3}x-y\right)
\left(\sqrt{3}x+y\right)=0
\text{ et }
x\geqslant 0.
\end{align*}
L'ensemble cherché est donc la réunion de deux demi-droites fermées d'équations
:
\[
\left\{\begin{aligned}
y&=\sqrt{3}x\\
x&\geqslant 0
\end{aligned}
\right.
\text{ et }
\left\{\begin{aligned}
y&=-\sqrt{3}x\\
x&\geqslant 0
\end{aligned}
\right.
\]
\item Un calcul analogue montre que :
\[
z-\overline{z}=\im |z|
\iff
\left(\sqrt{3}y-x\right)
\left(\sqrt{3}y+x\right)=0
\text{ et }
y\geqslant 0.
\]
L'ensemble cherché est donc la réunion de deux demi-droites fermées d'équations
:
\[
\left\{\begin{aligned}
y&=\dfrac{1}{\sqrt{3}}x\\
y&\geqslant 0
\end{aligned}
\right.
\text{ et }
\left\{\begin{aligned}
y&=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x\\
y&\geqslant 0
\end{aligned}
\right.
\]
\end{questions}
