\begin{questions}
\item Remarquons de suite que :
\[
\left\{
\begin{aligned}
(1+\cos(2\alpha))&=2\cos^2(\alpha)\\
\sin(2\alpha)&=2\sin(\alpha)\cos(\alpha).
\end{aligned}
\right.
\]
On peut alors calculer le discriminant du trinôme :
\[
\begin{aligned}
\Delta&=(4\sin(\alpha)\cos(\alpha))^2-4\times4\cos^2(\alpha) \\
&=16\cos^2(\alpha)(\sin^2(\alpha)-1) \\
&=-16\cos^4(\alpha).
\end{aligned}
\]
Les racines de ce polynôme sont donc :
\begin{align*}
z_1&=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)+\im\times 2\cos^2(\alpha) \\
z_2&=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)-\im\times 2\cos^2(\alpha).
\end{align*}
\item Il y a trois cas possibles :
\begin{itemize}
\item Si $\alpha\in \left]-\dfrac{\pi}{2}~;\dfrac{\pi}{2} \right[$,
$\cos(\alpha)\geq 0$.
\par
Dans ce cas $|z_1|=|z_2|=2\cos(\alpha)$ et on obtient :
\[
\left\{\begin{aligned}
z_1&=2\cos(\alpha)\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+\im
\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\right)\\
z_2&=2\cos(\alpha)\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)+\im
\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)\right).
\end{aligned}\right.
\]
\item Si $\alpha\not\in \left]-\dfrac{\pi}{2}~;\dfrac{\pi}{2} \right[$,
$\cos(\alpha)< 0$.
\par
Dans ce cas $|z_1|=|z_2|=-2\cos(\alpha)$ et on obtient :
\[
\left\{\begin{aligned}
z_1&=-2\cos(\alpha)\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+\im
\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\right)\\
z_2&=-2\cos(\alpha)\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)+\im
\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)\right).
\end{aligned}\right.
\]
\item Si $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ ou $\alpha=-\dfrac{\pi}{2}$,
\[
z_1=z_2=0.
\]
\end{itemize}
\item Les deux solutions sont égales si et seulement si $\Delta=0$ soit si
\[\alpha=\dfrac{\pi}{2}\qquad\text{ ou }\qquad \alpha=-\dfrac{\pi}{2}.\]
\end{questions}
