On a :
\[
\begin{aligned}
  S &=\Re\left(1+\nep^{\im x}+\nep^{2\im x}+\cdots+\nep^{n\im x}\right)\\
    &=\Re\left(1+(\nep^{\im x})+(\nep^{\im
      x})^2+\cdots+(\nep^{\im x})^n\right).
\end{aligned}
\]
On reconnaît la somme des $n+1$ premiers termes de la
suite géométrique de raison $\nep^{\im x}$ et de premier terme $1$.\\

Supposons d'abord que $\nep^{\im x}=1$, c'est-à-dire $x=0 \pod{2\pi}$, alors pour tout entier $k$, \ $\nep^{\im kx}=1$ et donc  $S=n+1$. \\
Désormais, nous supposerons au contraire $x\neq 0\pod{2\pi}$.
\[\text{On obtient : } \quad
S=\Re\left(\dfrac{1-\nep^{(n+1)\im x}}{1-\nep^{\im x}}\right).
\]
Factorisons :
\begin{align*}
1-\nep^{\im (n+1)x}&=\nep^{\im \frac{n+1}{2}x}\left(\nep^{-\im \frac{n+1}{2}x}-
\nep^{\im \frac{n+1}{2}x}\right) \\
&=-2\im \nep^{\im \frac{n+1}{2} x}\dfrac{\nep^{\im \frac{n+1}{2} x}
-\nep^{-\im \frac{n+1}{2} x}}{2\im }\\
&=-2\im \nep^{\im \frac{n+1}{2} x}\sin\left(\dfrac{n+1}{2}x\right) \\
\intertext{et de même :}
1-e^{\im x}
&=\nep^\frac{\im x}{2}\left(\nep^\frac{-\im x}{2}-\nep^\frac{\im x}{2}\right) \\
&=-2\im \nep^\frac{\im x}{2}\sin\left(\dfrac{x}{2}\right).  \\
\intertext{Donc :}
\dfrac{1-\nep^{\im (n+1)x}}{1-\nep^{\im x}}&=\nep^{\im \frac{nx}{2}}
\dfrac{\sin\left(\dfrac{n+1}{2}\,x\right)}{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}.
\end{align*}
Alors :
\[
S=\Re\left(\nep^{\im\,\frac{nx}{2}}\right)
\cdot\dfrac{\sin\left(\dfrac{n+1}{2}x\right)}
{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}
=\cos\left(\dfrac{nx}{2}\right)\dfrac{\sin\left(\dfrac{n+1}{2}x\right)}
{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}.
\]
%
\begin{methode}
La méthode utilisée dans la résolution de cet exercice est à retenir. L'idée de base est d'interpréter une somme de cosinus comme étant la partie réelle d'une somme de nombres complexes. \par
On notera qu'il convient de distinguer deux cas selon que la raison de la suite géométrique considérée vaut 1 ou non. La formule à utiliser pour le calcul de la somme n'est pas la même dans les deux cas.
\end{methode}
