Multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
$$\dfrac{1+\im  \sqrt{2} }{\sqrt{2}-\im }
=\dfrac{(1+\im \sqrt{2})(\sqrt{2}+\im )}{3}
=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{2}+2\im +\im }{3}=\im.$$

De même,
$\left(\dfrac  {1-\im }{1+\im } \right)^2 = \dfrac{(1-\im)^2(1-\im)^2}{(1+\im)^2(1-\im)^2} =\dfrac{(1-\im )^4}{(1^2+1^2)^2} =\dfrac{(-2\im )^2}{4}=-1$,\\
ainsi que :
$\im+\dfrac{1}{\im }=\dfrac{\im ^2+1}{\im }
=\dfrac{-1+1}{\im }=0.
$

