Simplifions le nombre complexe proposé à l'aide des propriétés des conjugués :
$$
\overline{z+\dfrac{1}{z}}
-\dfrac{\overline{1+z}}{\overline{z}}
=\dfrac{\overline{z}^2+1-1-\overline{z}}{\overline{z}}
=\dfrac{{\overline{z}}^2-\overline{z}}{\overline{z}}.
$$
(On a utilisé
$\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\times\overline{z_2}$ et $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$.)
\par Simplifions par $\overline{z}$ :
\[
\overline{z+\dfrac{1}{z}}-\dfrac{\overline{1+z}}{\overline{z}}
=\dfrac{\overline{z}^2-\overline{z}}{\overline{z}}
=\overline{z}-1.
\]
