\begin{questions}
\item \begin{aretenir}
Pour voir si une matrice carrée d'ordre 2 est inversible on vérifie que son déterminant est différent de zéro.
\end{aretenir}

\begin{questions}
\item $A = \begin{pmatrix}5&5\\4&6\end{pmatrix}$ donc $\det(A)=5\times6 - 4\times5 = 10 \neq 0$.

Ainsi, $A$ est inversible.

Posons donc $A^{-1}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$. On a alors:
\begin{align*}
A\times A^{-1}=I_2 & \iff \begin{pmatrix}5&5\\4&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\\
& \iff \begin{pmatrix}5a+5c & 5b+5d\\4a+6c & 4b+6d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\\
& \iff \begin{cases}
5a+5c=1&(E_1)\\
5b+5d=0&(E_2)\\
4a+6c=0&(E_3)\\
4b+6d=1&(E_4)
\end{cases}
\end{align*}
On peut déjà écrire que $b=-d$ (équation $(E_2)$) et $a=-\dfrac{3}{2}c$ (équation $(E_3)$). L'équation $(E_4)$ donne alors:
\[
-4d+6d=1 \iff d=\dfrac{1}{2}.
\]
L'équation $(E_1)$ donne ensuite:
\[
-\dfrac{15}{2}c+5c=1 \iff -\frac{5}{2}c=1 \iff c = -\frac{2}{5}.
\]
Ainsi,
\[
A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{2}{5} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}.
\]

\item $B=\begin{pmatrix}3,5 & 4\\-7 & -8\end{pmatrix}$ donc $\det(B)=3,5\times (-8) - (-7)\times 4 = -28+28=0$.

Ainsi, $B$ n'est pas inversible.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
C \text{ n'est pas inversible } & \iff \det(C)=0\\
& \iff 2a-b=0\\
& \iff b=2a.
\end{aligned}$

\item $C$ est inversible donc nécessairement, $b\neq2a$. De plus,
\begin{align*}
C = C^{-1} & \iff C \times C = C^{-1} \times C\\
& \iff C^2 = I_2\\
& \iff \begin{pmatrix}a & 1\\b&  2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & 1\\b&  2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\\
& \iff \begin{pmatrix}a^2+b & \color{DR}a+2\\ab+2b & \color{DB}b+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&\color{DR}0\\0&\color{DB}1\end{pmatrix}\\
& \iff {\color{DR}a=-2},\ {\color{DB}b=1-4=-3}.
\end{align*}

\end{questions}
\end{questions}
