\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $P_0=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}$.
\item $M=\begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,15&0,85\end{pmatrix}$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
P_1&=P_0\times M=\begin{pmatrix}
0,2\times0,9+0,8\times0,15 & 0,2\times0,1+0,8\times0,85
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}0,3&0,7\end{pmatrix}.
\end{aligned}$
\item $P_n=P_0\times M^n$.
\item $P_4=P_0\times M^4\approx\begin{pmatrix}0,47 & 0,53\end{pmatrix}$.

Au bout de 4 semaines, la probabilité qu'une personne interrogée préfère le parfum Aurore est environ 0,47, et la probabilité qu'elle préfère Boréale est environ 0,53.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $P_{n+1}=0,8\times P_n\times M+0,2\times N$.

\item On obtient successivement :
\begin{itemize}
\item $P_1=\begin{pmatrix}0,34 & 0,66\end{pmatrix}$ ;
\item $P_2=\begin{pmatrix}0,424 & 0,576\end{pmatrix}$ ;
\item $P_3=\begin{pmatrix}\numprint{0,4744} & \numprint{0,5256}\end{pmatrix}$ ;
\item $P_4\approx\begin{pmatrix}0,50 & 0,50\end{pmatrix}$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{questions}
