\begin{questions}
\item  Pour tout réel $x$ strictement positif,
\[
h(x) = x^2\left(2-\dfrac{\sqrt{x}}{x^2}\right) = x^2\left(2-\dfrac{1}{x\sqrt{x}}\right).
\]
Or, $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{1}{x\sqrt{x}}=0$ et $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} x^2=+\infty$.

Donc: \[\lim_{x\rightarrow+\infty}h(x)=+\infty.\]

\item
Pour tout $x\leqslant-1$, $$g(x)=\dfrac{2-x}{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2+x}}=\dfrac{x\left(\dfrac{2}{x}-1\right)}{-x\left(\sqrt{1+\dfrac{2}{x^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\right)}.$$
D'où : \[ g(x)=\dfrac{1-\dfrac{2}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{x^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}}.\]

\begin{attention}
Comme $x$ est négatif, on a $\sqrt{x^2}=\left|x\right|=-x.$
\end{attention}

$\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(1+ \dfrac{1}{x}\right)=1\\[18pt]
\lim\limits_{X\rightarrow1}\sqrt{X}=1
\end{array}\right\rbrace\Rightarrow
\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\sqrt{1+ \dfrac{1}{x}}=1$.

\Par

De même, $\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{1+\dfrac{2}{x^2}}=1$.

On en conclut que $\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}g(x)=\frac{1}{2}$.
\end{questions}
