\begin{questions}
\item $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(\nep^{2x}-\nep^x\big)  = \lim\limits_{x\to+\infty}\nep^x\big(\nep^{x}-1\big)$. Or, $\lim\limits_{x\to+\infty}\nep^x=+\infty$ donc, par produit, on en déduit que:
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}\big(\nep^{2x}-\nep^x\big)=+\infty.
\]

\item $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3-\nep^{2x}}{\nep^x+2}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\nep^{2x}\big(3\nep^{-2x}-1\big)}{\nep^x\big(1+2\nep^{-x}\big)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\nep^x\big(3\nep^{-2x}-1\big)}{1+2\nep^{-x}}$.

Or, $\lim\limits_{x\to+\infty}\nep^{-2x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\nep^{-x}=0$ donc, d'une part:
\[
\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\to+\infty}\big(3\nep^{-2x}-1\big)=-1\\
\lim\limits_{x\to+\infty}\nep^x = +\infty
\end{array}
\right\rbrace\Rightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\nep^x\big(3\nep^{-2x}-1\big)=-\infty\;,
\]
d'autre part:
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}\big(1+2\nep^{-x}\big)=1.
\]
On en déduit alors, par quotient, que:
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3-\nep^{2x}}{\nep^x+2}=-\infty.
\]

\item En posant $X = \dfrac{1}{x}$ ($x\neq0$), on peut écrire:
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\nep^{\frac{1}{x}} =  \lim\limits_{X\to0}X\nep^{X}=0.
\]

\item En posant $X = \sqrt{x}$ ($x>0$), on peut écrire:
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\nep^{\sqrt{x}}}{x} = \lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\nep^{X}}{X^2}=+\infty\text{ (d'après le cours)}.
\]
\end{questions}
