\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch02exoAsymptoteOblique}}}
\vspace*{-5mm}

\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
\forall x\in\mathcal{D}_f,\ f(x) & = ax+b+\dfrac{c}{x-4} = \dfrac{(ax+b)(x-4)+c}{x-4}\\
& = \dfrac{ax^2+(b-4a)x-4b+c}{x-4}.
\end{aligned}$

Par identification avec l'expression de $f(x)$, on voit qu'il suffit que $a$, $b$ et $c$ vérifient le système :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{r@{~=~}l}
a & 1\\
b-4a & -7\\
-4b+c & 14
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow
\left\lbrace
\begin{array}{r@{~=~}l}
a & 1\\
b & -3\\
c & 2
\end{array}
\right.
\]
Par conséquent, on peut écrire : $f(x)=x-3+\dfrac{2}{x-4}$.


\item $\mathcal{D}_f=]-\infty~;~4[\cup]4~;~+\infty[$. Il faut étudier les limites en l'infini et en 4 par valeurs supérieures et inférieures.
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x-4}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2}{x-4}=0$ donc, par somme, on obtient:
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\qquad\text{et}\qquad\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
\]
\Par
\item  \raisebox{-0.5\totalheight+0.5em}{$\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\to4}(x-3)=1\\
\lim\limits_{\substack{x\to4\\x>4}}(x-4)=0^+
\end{array}\right\rbrace\Rightarrow\lim\limits_{\substack{x\to4\\x>4}}f(x)=+\infty.$}
\Par
De même,  \raisebox{-0.5\totalheight+0.5em}{$\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\to4}(x-3)=1\\
\lim\limits_{\substack{x\to4\\x<4}}(x-4)=0^-
\end{array}\right\rbrace\Rightarrow\lim\limits_{\substack{x\to4\\x<4}}f(x)=-\infty.$}
\end{itemize}

\item La limite infinie en 4 permet de conclure que la courbe admet une asymptote verticale d'équation $x=4$. En revanche, comme les limites en l'infini sont infinies, il n'y a pas d'asymptote horizontale.
\begin{center}
\includegraphics{065_limites-asymptoblique}
\end{center}

\item En utilisant l'écriture établie dans la question 1, on trouve :
\[
g(x)=f(x)-(x-3)=\dfrac{2}{x-4}.
\]
D'après les calculs de limites de la question 2, on en déduit que\linebreak $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=0$.
\begin{Remarque}
cette limite montre que la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$ se rapprochent l'une de l'autre lorsque $x$ tend vers l'infini (on peut le visualiser sur le graphique précédent). On dit que la droite $\mathcal{D}$ est une \emph{asymptote oblique} à la courbe $\mathcal{C}$.
\end{Remarque}

\item Pour étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$, il faut étudier le signe de l'expression $f(x)-(x-3)$, c'est-à-dire le signe de $g(x)$.
\begin{itemize}
\item Pour $x>4$, la différence est positive, donc la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la droite $\mathcal{D}$.
\item Pour $x<4$, la différence est négative, donc la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de la droite $\mathcal{D}$.
\end{itemize}
\end{questions}
