\begin{questions}
\item $\forall x\in\R,\ \dfrac{\nep^{x^2}+x}{\nep^{-x}+1}=\dfrac{\cancel{\nep^{-x}}\big(\nep^{x^2+x}+x\nep^x\big)}{\cancel{\nep^{-x}}\big(1+\nep^{x}\big)}=\dfrac{\nep^{x^2+x}-x\nep^x}{1+\nep^{x}}$.
\Par
\begin{itemize}
\item \raisebox{-0.5\totalheight+0.5em}{$\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\to-\infty}\big(x^2+x\big)=\lim\limits_{x\to-\infty} x^2=+\infty\\
\lim\limits_{X\to+\infty}\nep^X=+\infty
\end{array}
\right\rbrace\Rightarrow\lim\limits_{x\to-\infty}\big(\nep^{x^2+x}\big)=+\infty.$}

\item $\lim\limits_{x\to-\infty}x\nep^x = 0$ (d'après le cours).

\item $\lim\limits_{x\to-\infty}\nep^x=0$ donc $\lim\limits_{x\to-\infty}\big(1+\nep^x\big) = 1$.
\end{itemize}

Par somme et quotient, on obtient :
\[
\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\nep^{x^2}+x}{\nep^{-x}+1}=+\infty.
\]


\item $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{\nep^x+2}-2x}{x\nep^x-\sqrt{x}}$ mène à plusieurs indéterminations : au numérateur ainsi qu'au dénominateur, une indétermination du type \og $\infty-\infty$ \fg{} apparaissent.

\begin{methode}
L'idée que nous choisissons ici est de factoriser au numérateur et au dénominateur par un même facteur dans le but de simplifier le quotient.
\end{methode}

\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{\nep^x+2}-2x & = \sqrt{\nep^x\big(1+2\nep^{-x}\big)}-2x\\[8pt]
& = \nep^{x/2}\sqrt{1+2\nep^{-x}}-2x\\[8pt]
& = \nep^{x/2}\Big[\sqrt{1+2\nep^{-x}}-2x\nep^{-x/2}\big]\\[8pt]
& = \nep^{x/2}\left[\sqrt{1+2\nep^{-x}}-4\times\dfrac{x}{2}\nep^{-x/2}\right].
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
x\nep^x-\sqrt{x} & = \nep^{x/2}\left[x\nep^{x/2}-\dfrac{\sqrt{x}}{\nep^{x/2}}\right]\\[12pt]
& = \nep^{x/2}\left[x\nep^{x/2}-\sqrt{\dfrac{x}{\nep^{x}}}\right]\text{ car } \nep^{x/2} = \big(\nep^x\big)^{1/2}=\sqrt{\nep^x}.
\end{aligned}$
\end{itemize}

Ainsi,
\[
\frac{\sqrt{\nep^x+2}-2x}{x\nep^x-\sqrt{x}} = \dfrac{\cancel{\nep^{x/2}}\left[\sqrt{1+2\nep^{-x}}-4\times\dfrac{x}{2}\nep^{-x/2}\right]}{ \cancel{\nep^{x/2}}\left[x\nep^{x/2}-\sqrt{\dfrac{x}{\nep^{x}}}\right]}
\]

Or,

\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x}{2}\nep^{-x/2}\right)=\lim\limits_{X\to+\infty} X\nep^{-X}=\lim\limits_{X\to+\infty} \dfrac{X}{\nep^{X}}=0$;
\item $\lim\limits_{x\to+\infty} \sqrt{1+2\nep^{-x}}=\sqrt1=1$ car $\lim\limits_{x\to+\infty} \nep^{-x}=0$;
\item $\lim\limits_{x\to+\infty}x\nep^{x/2}=\lim\limits_{x\to+\infty}2\times\dfrac{x}{2}\nep^{x/2}=\lim\limits_{X\to+\infty}2X\nep^X=+\infty$;
\item $\lim\limits_{x\to+\infty} \sqrt{\dfrac{x}{\nep^x}}=0$.
\end{itemize}

Ainsi, le numérateur tend vers 1 et le dénominateur tend vers $+\infty$ et donc,
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{\nep^x+2}-2x}{x\nep^x-\sqrt{x}}=0.
\]
\end{questions}
