\begin{questions}
\item $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{2x^2-3x-2}{2x-4}$.

Remarquons avant tout que 2 est une racine de $2x^2-3x-2$ donc ce dernier peut se factoriser par $(x-2)$:
\[
2x^2-3x-2 = (x-2)(2x+1).
\]
Ainsi,
\begin{align*}
\lim\limits_{x\to2}\dfrac{2x^2-3x-2}{2x-4} & = \lim\limits_{x\to2}\dfrac{(x-2)(2x+1)}{2(x-2)}\\
& = \lim\limits_{x\to2}\dfrac{2x+1}{2}\\
& = \dfrac{5}{2}.
\end{align*}

\item $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{x-2}$.

Remarquons que cette limite donne une forme indéterminée du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg.
\begin{itemize}
\item Méthode 1: nous allons utiliser un taux d'accroissement.

Posons $f(x)=\sqrt{x^2+5}$.

Alors, $f(2)=3$ et $f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+5}}$, donc $f'(2)=\dfrac{2}{3}$.
\[
\lim\limits_{x\to2}\dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{x-2} = \lim\limits_{x\to2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)=\dfrac{2}{3}.
\]

\item Méthode 2: nous allons utiliser une expression conjuguée. \mbox{Pour $x\neq2$:}
\begin{align*}
\dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{x-2} & = \dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{x-2}\times\dfrac{\sqrt{x^2+5}+3}{\sqrt{x^2+5}+3}\\
& = \dfrac{x^2+5-9}{(x-2)\big( \sqrt{x^2+5}+3 \big)}\\
& = \dfrac{\cancel{(x-2)}(x+2)}{\cancel{(x-2)}\big( \sqrt{x^2+5}+3 \big)}\\
& = \dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}.
\end{align*}
Donc:
\[
\lim\limits_{x\to2}\dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{x-2} = \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3} = \dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}.
\]
\end{itemize}
\end{questions}
