\begin{questions}
\item On a :
\[ \left.
\begin{aligned}
\lim\limits_{x \to 2} (x-1) &=1 \\
\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\x<2}} (x-2) &=0^-        
\end{aligned}
\right\} \Rightarrow  \lim\limits_{\substack{x\to2 \\ x<2}} \dfrac{x-1}{x-2} =  -\infty .\]
De même, $\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}} \dfrac{x-1}{x-2} = +\infty$.\\
On a donc une asymptote verticale d'équation $x=2$.

\item On a une forme indéterminée du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg. L'expression n'est pas définie en $1$, mais on remarque que pour tout $x$ différent de $1$ :\\
$\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$, donc $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} =  \lim\limits_{x \to 1} x+1 =2$.

\item L'expression est définie en $-1$, il suffit de remplacer $x$ par $-1$ et on obtient  $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{x^2-1}{x-1} =0$.

\item Quand $x$ tend vers $1$, le dénominateur tend vers $0$. Il nous faut savoir si c'est par valeurs positives ou par valeurs négatives.

Les racines de $x^2+2x-3$ sont $1$ et $-3$, et le trinôme est positif à l'extérieur des racines puisque le coefficient de $x^2$ est positif.
On a :
\[
\hspace*{-2em}\left.
\begin{array}{r}
\lim\limits_{x \to 1} 1-2x = -1 \\
\lim\limits_{\substack{x \to 1\\x<1}}(x^2+2x-3)=0^-\\[-8pt] \text{(entre les racines)}
\end{array}
\right\} \Rightarrow
\lim\limits_{\substack{x \to 1\\x<1}} \dfrac{1-2x}{x^2+2x-3} = +\infty \text{ (règle des signes).}
\]

De même, $\lim\limits_{\substack{x \to 1\\x>1}} \dfrac{1-2x}{x^2+2x-3} = -\infty$. On a donc une asymptote verticale d'équation $x=1$.
\end{questions}
