\begin{questions}
\item Posons $f(x)=\nep^{x-2}$. Alors, $f(2)=\nep^0=1$ et $f'(x)=\nep^{x-2}$. Ainsi:
\[
\lim\limits_{x\to2}\dfrac{\nep^{x-2}-1}{x-2} = \lim\limits_{x\to2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)=1.
\]

\item On constate que $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\nep^{x-3}-\nep^{-2}}{\sqrt{x}-1}$ est une forme indéterminée du\linebreak type $\og \dfrac{0}{0}$ \fg.

\begin{methode}
Dans le cas d'une indétermination du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg{} qui ne peut pas être levée facilement, on peut poser $f(x)$ et $g(x)$ respectivement le numérateur et le dénominateur de l'expression, puis écrire cette dernière sous la forme $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\times\dfrac{x-a}{g(x)-g(a)}$.
\end{methode}

Posons alors:
\[
f(x)=\nep^{x-3}-\nep^{-2} \qquad\text{et}\qquad g(x)=\sqrt{x}-1.
\]
$f(1)=0$ et $g(1)=0$. On a bien pour tout réel $x\neq1$:

\[
\dfrac{\nep^{x-3}-\nep^{-2}}{\sqrt{x}-1} = \dfrac{f(x)-f(1)}{g(x)-g(1)}=\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\times\dfrac{x-1}{g(x)-g(1)}.
\]
Or, si $f'(1)$ et $g'(1)$ existent,
\[
\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)\text{ et } \lim_{x\to1}\dfrac{x-1}{g(x)-g(1)}=\dfrac{1}{g'(x)}.
\]
On calcule donc:
\begin{itemize}
\item $f'(x)=\nep^{x-3}$ donc $f'(1)=\nep^{-2}$;
\item $g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ donc $g'(1)=\dfrac{1}{2}$, soit $\dfrac{1}{g'(1)}=2$.
\end{itemize}
Ainsi, par produit des limites, on obtient:
\[
\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\nep^{x-3}-\nep^{-2}}{\sqrt{x}-1}=f'(1)\times\dfrac{1}{g'(1)}=2\nep^{-2}.
\]
\end{questions}
