Pour tout réel $x > 0$,
\[
-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1
\]
donc, en multipliant par $\dfrac{x}{x^2+1}$, qui est strictement positif, on a:
\[
-\dfrac{x}{x^2+1} \leqslant \dfrac{x\cos(x)}{x^2+1} \leqslant \dfrac{x}{x^2+1}.
\]
Or,
\begin{align*}
\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x}{x^2+1}\right) & = \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x\times1}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}\right)\\
& = \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1}{x\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}\right)\\
& = 0.
\end{align*}
De même, $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\dfrac{x}{x^2+1}\right)=0$.

Ainsi, $\dfrac{x\cos(x)}{x^2+1}$ est encadré par deux fonctions qui tendent vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$. D'après le théorème des gendarmes, on en déduit que:
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x\cos(x)}{x^2+1} =0.
\]

\begin{methode}
Quand une fonction est encadrée par deux autres fonctions ayant une même limite \textit{finie}, on utilise le théorème des gendarmes.

Quand une fonction est encadrée par deux autres fonctions ayant une même limite \textit{infinie}, on utilise le théorème de comparaison.
\end{methode}
