\begin{questions}
\item Pour tout réel $x$, $x^2+5>0$. La fonction $f$ est alors définie pour tout réel $x$ tel que $\sin{\dfrac{1}{x}}$ existe. La fonction $f$ est donc définie sur $\R^*.$

\item Pour tout réel $x\neq0$,
\[
-1\leqslant\sin{\dfrac{1}{x}}\leqslant1 \iff -|x|\leqslant |x|\sin{\frac{1}{x}}\leqslant |x|.
\]
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes,
\[
\lim\limits_{x\to0}\left(|x|\sin{\dfrac{1}{x}}\right)=0.
\]
De plus, $\lim\limits_{x\to0}\left(x^2+5\right)=5$ donc:
\[
\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{|x|\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2+5}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2+5}=0.
\]
\end{questions}
