\begin{questions}
\item $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\nep^{-0,2x}\right)=\lim\limits_{X\to-\infty}\left(\nep^{X}\right)=0$ donc, $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\nep^{-0,2x}\right)=1$.

Ainsi, $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1}{1+\nep^{-0,2x}}\right)=1$.

\newpage

Cette limite étant finie, cela signifie que la courbe représentative de la fonction $f(x)=\dfrac{1}{1+\nep^{-0,2x}}$ admet une asymptote (horizontale) d'équation $y=1$.

\item $v(t)=12\nep^{-0,6t}+\dfrac{1}{0,6}\times\dfrac{0,6t}{\nep^{0,6t}}$.

On a: $\lim\limits_{t\to+\infty}\left(\nep^{-0,6t}\right)=\lim\limits_{T\to-\infty}\left(\nep^{T}\right)=0$.

De plus, $\lim\limits_{t\to+\infty}\left(\dfrac{0,6t}{\nep^{0,6t}}\right) = \lim\limits_{T\to+\infty}\left(\dfrac{T}{\nep^T}\right)=0$ (par croissance\linebreak comparée, en posant $T=0,6t$).

Finalement, par somme et produit,
\[
\lim\limits_{t\to+\infty}\left(12\nep^{-0,6t}+\dfrac{1}{0,6}\times\dfrac{0,6t}{\nep^{0,6t}}\right) = 0 + \dfrac{1}{0,6}\times0=0.
\]

\item $f(x)=(6x^2+2x-2)\nep^{-5x+1}$.
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x\to-\infty}(6x^2+2x-2) = \lim\limits_{x\to-\infty}\left[x^2\left(6+\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right) \right]=+\infty$ car $\lim\limits_{x\to-\infty}(x^2)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x^n}=0$ pour tout entier naturel $n$ non nul.

\item $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\nep^{-5x+1}\right)=\lim\limits_{X\to+\infty}\left(\nep^X\right)=+\infty$ (en posant $X=-5x+1$).
\end{itemize}
Ainsi, par produit, $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=+\infty$.
\end{questions}
