\begin{questions}
\item \textit{Vrai}. En effet,
\[
\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{\substack{x\to 3\\x>3}} (x^2-x-2) =3^2-3-2=4>0\\[18pt]
\lim\limits_{\substack{x\to 3\\x>3}} (x-3) = 0^+
\end{array}
\right\rbrace
\Rightarrow \lim_{\substack{x\to 3\\x>3}} \dfrac{x^2-x-2}{x-3}= +\infty.
 \]

\item \textit{Faux}. En effet,
\[
\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{\substack{x\to 2\\x>2}} (x^2-2x+4) =2^2-4+4=4>0\\[18pt]
\lim\limits_{\substack{x\to 2\\x>2}} (x-2) = 0^+
\end{array}
\right\rbrace
\Rightarrow \lim\limits_{\substack{x\to 2\\x>2}} \dfrac{x^2-2x+4}{x-2}=+\infty.
 \]

\item \textit{Vrai}. En effet, on peut écrire pour tout $x\neq-1$:
\[
\dfrac{\sqrt{x^2+3}}{x+1}=\dfrac{\sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\dfrac{|x|\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}.
\]
Au voisinage de $-\infty$, $x<0$ donc $|x|=-x$ et on peut alors écrire que pour $x<0$:
\[
\dfrac{\sqrt{x^2+3}}{x+1}=\dfrac{-x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\dfrac{-\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}.
\]
Or, $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+\dfrac{3}{x^2}\right)=1$ d'où:
\[
\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+3}}{x+1}=-1.
\]

\item \textit{Faux}. Le numérateur et le dénominateur tendent simultanément vers $0$ quand $x$ tend vers $1$. On est donc en présence d'une forme indéterminée du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg. Pour lever l'indétermination, on peut remarquer que, pour $x$ positif :
\[
x-1=\big(\sqrt{x}-1\big)\big(\sqrt{x}+1\big),
\]
ce qui permet d'écrire:
\[
\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1,
\]
d'où :   $\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\lim\limits_{x\to1}\big(\sqrt{x}+1\big)=2$.
\end{questions}
